O valor absoluto
O valor absoluto de um número corresponde à sua magnitude, sem considerar seu sinal, se o tiver. Geometricamente, corresponde à distância de um ponto \(x\) à origem \(0\), na linha real
Matematicamente, o valor absoluto de um número \(x\) é representado como \(|x|\).
Devido à natureza geométrica de sua interpretação, o valor absoluto é amplamente utilizado em álgebra e outros ramos matemáticos, e parece que é muito fácil calcular o valor absoluto de um determinado número: tudo que você precisa fazer é abandonar o sinal, se houver um sinal.
EXEMPLO 1
Calcule o valor absoluto de \(-8\).
RESPONDA:
Como mencionamos acima, o valor absoluto de um número é sua magnitude, sem levar em conta o sinal. Neste caso, ao largar o sinal, percebemos that the value absoluto de \(-8\) é \(8\). Matematicamente, escrevemos \(|-8| = 8\).
EXEMPLO 2
Calcule o valor absoluto de \(4\).
RESPONDA:
Sabemos que o valor absoluto de um número é sua magnitude, sem levar em conta o sinal. Neste caso, não há um sinal para descartar, então veja que o valor absoluto de \(4\) é simplesmente \(4\). Então, matematicamente, escrevemos \(|4| = 4\).
Definição Matemática de Valor Absoluto
Essa ideia de "largar o sinal" seria suficiente se tudo o que fizéssemos calcular fosse o valor absoluto dos números. Mas, na verdade, fazemos mais coisas, que são um pouco mais complicadas, como equações de valor absoluto e desigualdades.
Matematicamente, uma definição formal de \(|x|\) é abaixo.
\ [| x | = \ left \ {\ begin {array} {cc} x \ text {} & \, \, \, \ text {para} x \ ge 0 \\ \\ -x & \, \, \ text {para} x <0 \\ \ end {array} \ right. \]Sem entrar em pânico, vamos analisar uma definição acima. Está simplesmente dizendo: "Verifique o número fornecido \(x\). Se \(x\) for maior ou igual a zero, o valor absoluto do número será o próprio número. Caso contrário, se o número fornecido \(x\) for negativo, o valor absoluto do número \(-x\), queia corresponderá à multiplicação do número fornecido por \(-1\).
Então, no caso de \(-8\), esse número é negativo, então o valor absoluto é acumulado multiplicando-o por \(-1\), então temos \(|-8|\) = (-1) \ times (-8) = 8. Isso é tudo.
Agora, esta definição pode parecer um exagero. Afinal, por que não ficar com o método "largue o sinal"? Existe uma razão para isso, e é simplesmente porque esta forma de definir o valor absoluto nos ajuda a lidar com as situações mais difíceis que envolvem o valor absoluto.
Por exemplo, se eu lhe pedir para resolver a seguinte desigualdade: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), você seria capaz de simplesmente "largar o sinal" para reduzi-la? Não exatamente. Não se preocupe, discutiremos as desigualdades envolvendo valores absolutos em outro tutorial.
Queria apenas apontar porque tomamos o trabalho de fazer uma definição formal do valor absoluto, e porque em algum momento iremos precisar dele, quando lidarmos com operações mais complicadas envolvendo valores absolutos.
Propriedades do valor absoluto
Estas são as propriedades principais:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), para \(a\) e \(b\) números reais
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), para \(a\) e \(b\) números reais
A falácia da raiz quadrada de um quadrado
Por fim, gostaria de dar crédito ao valor absoluto de uma referência ausente. Sim, ele merece crédito. Na verdade, muitas vezes vemos no ensino médio ou mesmo na faculdade uma declaração turva como:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]com uma declaração dizendo que "a raiz quadrada cancela o quadrado". Não vou dizer que é falso, mas direi que é verdadeiro quando \(x\) é não negativo. A verdadeira afirmação seria
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]e aí você tem uma das aparências estelares do valor absoluto. Com o tempo, você perceberá que ele aparece com mais frequência do que você pensa.
Mais sobre o valor absoluto
O valor absoluto é um conceito simples e muito útil, porque tem uma interpretação geométrica clara na linha real: representa a distância de qualquer ponto à origem.
Embora seja simples computá-lo para um número, existem operações mais complicadas que envolvem valores absolutos, como as equações de valor absoluto e desigualdades. Esses anúncios uma estratégia clara para serem resolvidos, caso contrário, você pode ficar perplexo.
Como encontrar um valor absoluto?
Normalmente não é tão difícil encontrar o valor absoluto de um determinado número: tudo que você precisa fazer é obter a magnitude do número, sem considerar o sinal. Em outras palavras, palavras palavras e para simplificar, basta ver se um sinal e deixar-lo cair.
O procedimento é menos evidente quando você está computando o valor absoluto de uma expressão algébrica; nesse caso, você precisa primeiro reduzir a expressão a um número e, em seguida, eliminar qualquer sinal, se houver.
Aplicações do Valor Absoluto
Usar o valor absoluto vai além de simplesmente calcular o valor absoluto dos números. O valor absoluto tem algumas propriedades intrínsecas que tornam uma ferramenta analítica de valor inestimável.
Por exemplo, o valor absoluto aparece com frequência em muitas hipóteses, como por exemplo para \(\sqrt{x^2} = |x|\), o que geralmente é dado como certo, já que a maioria das pessoas usará \(\sqrt{x^2} = x\), que é incorreto quando \(x\) é negativo.
O valor absoluto também aparece na geometria (porque o valor absoluto de uma diferença representa a distância entre dois pontos), na integração e para quando precisamos resolver desigualdades de valor absoluto .
Além disso, você pode usar este calculadora de valor absoluto para praticar os conceitos aprendidos neste tutorial. Ou para cálculos mais gerais, você pode usar este calculadora de expressão algébrica .