Uma sequência $a_n$ corresponde a uma matriz infinita ou lista de número do formulário

onde $a_1, a_2, a_3, ...$ são números reais. Por exemplo, a sequência

é representado pela lista

porque esses são os valores que a expressão $a_n = \frac{1}{n}$ assume quando $n$ assume os valores 1, 2, 3, ... etc.

Convergência de sequências

Um conceito que normalmente é difícil de entender é a convergência de uma sequência. A ideia é muito trivial: Uma sequência $a_m$ converge para um valor $a$ se os valores da sequência se aproximam cada vez mais de $a$ (na verdade, eles ficam tão próximos quanto queremos) conforme $n$ se aproxima do infinito.

Por exemplo: A sequência $a_n = 1/n$ é tal que

porque o valor de $1/n$ torna-se "tão próximo de zero quanto queremos" à medida que $n$ se aproxima do infinito.

Definição formal de convergência:

A sequência $a_n \to a$ como $n \to \infty$, ou de outra forma disse $\lim_{n \to \infty}{a_n} = a$ se

• Para todos os $\varepsilon >0$, existem $n_0$ tais que $n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon$

Isso quer dizer que não importa o quão perto você queira da sequência de $a$, sempre há um ponto na sequência de forma que todos os pontos além desse, estão próximos o suficiente de $a$. Em outras palavras a convergência de uma sequência não afirma que algum número da sequência chega perto o suficiente do limite $a$, mas, em vez disso, indica que se formos longe o suficiente na sequência, todos os valores de if estarão próximos o suficiente.

Álgebra de Limites

Operar com limites não é tão complicado, uma vez que os conhecemos. Na verdade, existem regras simples que permitem calcular limites mais complicados com base em outros mais simples. Essas regras são mostradas abaixo:

Se $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a$ e $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b$ então temos:

(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b$

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b$

(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b}$

(onde a propriedade (3) é válida enquanto $b \ne 0$.)

Exemplo: O limite

é calculado multiplicando primeiro o numerador e o denominador por $\frac{1}{n^2}$, o que significa

porque $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$.