Calculadora do maior divisor comum


Instruções: Use a Calculadora do Maior Divisor Comum para calcular o Maior Divisor Comum (GCD) para dois valores inteiros não negativos n1n_1 e n2n_2. Os valores de n1n_1 e n2n_2 precisam ser inteiros e maiores ou iguais a 1

O inteiro n1n_1 =
O inteiro n2n_2 =

Como calcular o maior divisor comum?

Mais sobre o maior divisor comum (às vezes também referido como o maior fator comum) : O maior divisor comum (GCD) entre dois números inteiros positivos n1n_1 e n2n_2 é o maior número inteiro que divide n1n_1 e n2n_2. Geralmente é fácil de encontrar por inspeção (isto é, tentar muitos números de maneira sistemática, até encontrá-lo), mas isso só é verdade para pequenos números. Calcular o GCD para grandes números por inspeção pode ser tedioso ou simplesmente difícil.

Felizmente, existe uma maneira sistemática e fácil (tosse, tosse) de calcular o GCD para dois números. O método é assim

  • Calcule o decomposição primária de n1n_1 e n2n_2. Simbolicamente, teríamos algo assim: n1=p1α1p2α2pnαnn_1 = p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n} n2=q1α1p2α2pmαmn_2 = q_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m}
  • Encontre a lista de primos comuns na decomposição primo correspondente. Se não houver primos comuns, então STOP, você descobriu que GCD = 1. Caso contrário, seja {r1,...,rk}\{r_1, ..., r_k \} a lista de kk primos comuns e seja αil,βil\alpha_{i_l}, \beta_{i_l} para l=1,2,..,kl=1,2,..,k os expoentes correspondentes encontrados na decomposição primária de n1n_1 e n2n_2 para o comum correspondente primos.

  • O GCD é calculado como: GCD=r1min{αi1,βi1}r2min{αi2,βi2}rkmin{αik,βik}GCD = r_1^{\min\{\alpha_{i_1}, \beta_{i_1}\}} \cdot r_2^{ \min\{\alpha_{i_2}, \beta_{i_2}\}} \cdots r_k^{\min\{\alpha_{i_k}, \beta_{i_k}\}}

O método acima parece muito complexo ?? Na verdade não. Vejamos um exemplo: vamos calcular o GCD para n1=165n_1 = 165 e n2=1575n_2 = 1575. Vamos encontrar a decomposição primária de cada um desses números (você pode usar nossa calculadora de decomposição primária)

165=3511165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 1575=325271575 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7

Do acima exposto: quais números primos esses dois números têm em comum? Como podemos ver, os primos comuns são 3 e 5. Olhando para os expoentes desses primos comuns em cada um dos números, vemos o mínimo entre os dois. Nesse caso, o expoente mínimo para 3 é 1, e o expoente mínimo para 5 também é 1. Portanto

GCD=3151=35=15GCD = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15

Além da calculadora GDC, você pode escolher entre nossa seleção de calculadoras e solucionadores de álgebra .

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