Decomposição parcial da fração
Decomposição de Fração Parcial é uma técnica usada para tornar a integração mais simples, decompondo uma função de difícil integração na soma de várias funções que são mais fáceis de integrar.
Freqüentemente, usar frações parciais é a única maneira viável de calcular uma integral, que de outra forma seria impossível de resolver.
Especificamente, essa técnica é aplicada quando precisamos integrar o quociente de dois polinômios \(P(x)\) e \(Q(x)\). Isto é, precisamos calcular.
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Por exemplo, digamos que \(P(x) = x^2 - 2\) e \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), então a integral do quociente desses dois polinômios seria:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]Como diabos você resolve isso, você pode pensar ... À primeira vista parece intratável, e é se você não seguir a abordagem certa.
Felizmente, toda vez que você tenta integrar o quociente de dois polinômios, não importa o quão complicados esses polinômios sejam, sempre há uma maneira de reduzir a integral a um monte de integrais fáceis de resolver.
Só que, para isso, precisamos fazer algum trabalho algébrico de antemão, mas dividindo dois polinômios e resolvendo um sistema linear.
É um preço pequeno a pagar para resolver e de outra forma impossível de resolver integral, certo? Por favor diga sim.
EXEMPLO 1
Deixe-me te dar um teaser. Você poderia ir em frente e integrar isso?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]Hummm ... você poderia? Bem, não parece fácil, nem mesmo possível. E se eu te dissesse isso
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]Então, a fração que você deseja integrar foi decomposta em três Frações Parciais , e cada uma dessas frações parciais é realmente fácil de integrar. Na verdade, usar a decomposição acima nos leva a
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]Então, você pode concordar comigo que a decomposição resolveu o problema, porque depois de conhecer a decomposição, o problema de integração foi reduzido a três integrais muito simples.
Agora você aprenderá como fazer essa decomposição.
Como fazer uma decomposição de frações parciais?
Passo 1
Em primeiro lugar, essa técnica só funciona quando você deseja integrar um quociente de dois polinômios. Isto é, você deseja integrar
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são polinômios. Sempre podemos assumir que uma ordem de \(Q(x)\) é maior que uma ordem de \(P(x)\) .
Se esse não for o caso, e a ordem de \(P(x)\) for maior que a ordem de \(Q(x)\), então você pode usar o teorema da divisão de polinômios para obter
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]onde \(M(x)\) e \(R(x)\) são polinômios, e a ordem de \(R(x)\) é menor do que a ordem de \(R(x)\), o que significaria que
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]então, a tarefa de integrar \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) fica reduzida à tarefa de integrar um polinômio \(M(x)\) (que é trivial) e integrar um quociente de polinômios \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) onde o polinômio no numerador tem uma ordem inferior do que aquele no denominador.
Passo 2
Você precisa encontrar as raízes do polinômio no denominador \(Q(x)\) e realizar uma decomposição em termos lineares e quadráticos com multiplicidade, e descrita pelo Teorema Fundamental da Álgebra.
Esta etapa requer um pouco de conhecimento de álgebra. Suponha que \(Q(x)\) seja um polinômio de ordem \(n\). Portanto, precisamos resolver \(Q(x) = 0\), e de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, haverá exatamente \(n\) raízes, talvez todas reais, mas talvez algumas complexas. Além disso, para cada raiz há uma certa multiplicidade (o número de vezes que uma raiz é repetida)
Com essas raízes iremos decompor \(Q(x)\). Para cada raiz real \(\alpha\), o fator correspondente na decomposição é \((x-\alpha)\). Se houver uma multiplicidade \(k\) para esta raiz (isto é, a raiz é repetida \(k\) vezes), o fator na decomposição será \((x-\alpha)^k\).
Agora, é um pouco mais complicado quando há uma raiz complexa \(c\). Nesse caso sempre haverá uma raiz complexa conjugada, \(\bar c\), e agrupando-as acabaremos com uma expressão quadrática \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) com coeficientes reais.
Se essa raiz complexa tiver uma multiplicidade \(k\), o fator seria \((x^2 + ax + b)^k\).
etapa 3
Pegue os fatores que você encontrou na Etapa 2. Para cada um dos fatores, você criará alguns termos que contribuirão para a soma das frações parciais.
Para cada fator da forma \(x + a\): Adicione um termo \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)
Para cada fator da forma \((x + a)^k\): Adicione os termos \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)
Para cada fator da forma \(x^2 + ax + b\): Adicione um termo \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)
Para cada fator da forma \((x^2 + ax + b)^k\): Adicione os termos \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)
Passo 4
Some essas frações parciais e iguale-as ao quociente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) e use-o para encontrar todas as constantes desconhecidas \(A_i\) e \(B_i\) que foram criadas na Etapa 3.
Etapa 5
Depois de encontrar as constantes na Etapa 4, você decompôs o quociente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), em vários termos que podem ser integrados por logaritmo, ou você precisa fazer uma simples mudança de variáveis.
E você trocou a solução de uma integral impossível de resolver por um número possivelmente grande de frações parciais menores que são muito mais fáceis de integrar, após um longo exercício algébrico de resistência.
EXEMPLO 2
Integre o seguinte usando frações parciais
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]RESPONDA:
Pacientemente, precisamos seguir todas as etapas.
Passo 1
Nesse caso \(P(x) = x\) e \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), então a ordem de \(P(x)\) é 1 e a ordem de \(Q(x)\) é 2. Portanto, a condição é atendida, uma vez que a ordem de \(P(x)\) é menor que a ordem de \(Q(x)\).
Passo 2
Vamos encontrar as raízes de \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), então precisamos resolver
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]Então, as raízes são \(x_1 = 1\) e \(x_2 = -3\). Os fatores então são \((x-1)\) e \((x+3)\). Observe que \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
etapa 3
Para o fator \((x-1)\) adicionamos a fração parcial \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) e para o fator \((x+3)\) adicionamos a fração parcial \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).
Passo 4
Agora somamos todas as frações parciais e as equacionamos com o quociente original de polinômios, a fim de resolver para as constantes \(A\) e \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]Observe que a última igualdade indica que o polinômio da esquerda é igual ao polinômio da direita, para todos \(x\). Então, seus coeficientes devem ser iguais.
Isso significa que \(A+B = 1\) e \(3A - B = 0\). Deste último, \(B = 3A\), então \(A + 3A = 1\), o que significa \(4A = 1\) então \(A = 1/4\), e \(B = 3/4\).
Então chegamos à nossa expansão de frações parciais:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]Etapa 5
Agora você pode desfrutar da integração com facilidade:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]EXEMPLO 3
Integre o seguinte termo usando decomposição de frações parciais
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]RESPONDA:
Novamente, precisamos seguir todas as etapas.
Passo 1
Neste caso \(P(x) = 1\) e \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), então a ordem de \(P(x)\) é 0 e a ordem de \(Q(x)\) é 3. Portanto, a condição é atendida, uma vez que a ordem de \(P(x)\) é menor que a ordem de \(Q(x)\).
Passo 2
Vamos encontrar as raízes de \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), então precisamos resolver
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]Este é mais complicado, porque não existe uma fórmula fácil para raízes cúbicas gerais (existe uma fórmula, mas não é fácil). Precisamos fazer um truque:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]Portanto, temos esse \(x^2 + 1=0\) ou \(x-1 = 0\). Portanto, as raízes são \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\). Então, \(x_1\) é real, \(x_2\) e \(x_3\) são raízes conjugadas complexas.
A raiz \(x_1 = 1\) tem um fator \((x-1\), e as raízes conjugadas complexas \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) têm um fator \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).
etapa 3
Para o fator \((x-1)\) adicionamos a fração parcial \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) e para o fator \((x^2+1))\) adicionamos a fração parcial \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).
Passo 4
Agora somamos todas as frações parciais e as equacionamos com o quociente original de polinômios, um fim de resolver para as constantes \(A\) e \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{x^3 -x^2 + x - 1} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = (A+B)x^2 + (C- B)x + (A - C) \]Observe que a última igualdade indica que o polinômio da esquerda é igual ao polinômio da direita, para todos \(x\). Então, seus coeficientes são iguais.
Isso significa que \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) e \(A - C = 0\). Deste último, \(A = C\), e também \(A = -B\), então obtemos \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) e \(C = -1/2\).
Então chegamos à nossa expansão de frações parciais:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]Etapa 5
Agora você pode desfrutar da integração com facilidade:
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx - \int \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \int \frac{x}{2(x^2 + 1)} \, dx - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \arctan x + C\]Mais sobre a decomposição parcial da fração
A técnica de usar frações parciais é uma bênção, pois elas te atendem muito bem possibilitando uma integração que de outra forma não seria possível.
MAS, quando você vê isso em um dever de casa ou teste, sabe que tem muito trabalho pela frente para fazer as frações parciais trabalharem para você. Portanto, meu conselho é ir devagar e não se apressar quando estiver fazendo todo o trabalho pesado.
A mecânica
Realizar uma decomposição parcial de frações exigirá várias habilidades algébricas para você tirar da cartola, um sabre: dividir polinômios, encontrar raízes de polinômios e resolver sistemas, além de ser capaz de expressar uma estrutura de decomposição necessária, tratando corretamente os casos diferentes (raízes diferentes , raízes repetidas). Portanto, você precisa estar em ótima forma com sua perspicácia algébrica.
No final das contas, é muito mecânico e quase tedioso de fazer. No final das contas, você poderia usar um CAS como Maple ou Mathematica para fazer a preparação de expansão parcial para você, mas se você tiver um teste, é provável que seu instrutor queira que você faça isso com qualquer auxílio, então é melhor se para isso.