Calcolatrice della formula del doppio angolo

Questo calcolatore di formule a doppio angolo ti consentirà di fornire un certo angolo in radianti e ottenere tutto il valori trigonometrici del doppio angolo corrispondente. In parole semplici, questa è una calcolatrice per calcolare cose come sin(2x) in termini di valori trigonometrici per x.

Si noti che l'angolo deve essere espresso in radianti. Se ce l'hai in gradi, puoi usare questo calcolatrice da gradi a radianti per effettuare la conversione.

Un elemento interessante delle funzioni trigonometriche è che esiste un modo per calcolare il valore della funzione trigonometrica del doppio di un dato angolo, utilizzando formule relativamente semplici, utilizzando le cosiddette formule del doppio angolo.

Qual è la formula per il doppio angolo?

Supponiamo di avere un angolo \(\theta\) cioè misurato in radianti , e \(2 \theta\) è il doppio angolo. Quindi, le seguenti formule di identità del doppio angolo vengono utilizzate per il doppio angolo

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\] \[\tan(2\theta) = \displaystyle \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}\]

La cosa interessante di queste formule è che se conosci i valori trigonometrici per un angolo \(\theta\), puoi usare le formule sopra per calcolare le formule trigonometriche per \(2\theta\). Quindi, diciamo che conosci i valori trigonometrici per 30 ^O , quindi puoi utilizzare le formule sopra per calcolare i valori trigonometrici per 60 ^O

Queste sono le formule che questo Calcolatrice del doppio angolo ti fornirà una volta fornito un angolo valido in radianti.

Esempio di utilizzo di doppi angoli

Formula del doppio angolo Esempio: Sappiamo che \(\sin(45^o) = \sin(45^o) = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \). Calcoliamo \(\sin(90^o)\). Nota che \(90^o\) quindi il doppio angolo di \(45^o\), quindi, usando la formula sopra

\[\sin(90^o) = \sin(2\cdot 45^o) = 2\sin(45^o) \cos(45^o) =\displaystyle 2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\]

Per cosa usi il doppio angolo?

Abbiamo detto che il doppio angolo potrebbe essere molto utile per scopi di calcolo, ma in realtà è più un uso teorico per loro. Voglio dire, le tavole trigonometriche non si calcolano usando il doppio angolo partendo da alcuni angoli notevoli, ma usando Approssimazione di Taylor Invece.

Formule del doppio angolo sono estremamente utili nelle identità utilizzate per rendere possibile il calcolo di integrali trigonometrici.

Strettamente correlati e concettualmente equivalenti, puoi usarli mezzo angolo formule per calcolare il valore trigonometrico del semiangolo \(\frac{\theta}{2}\) dati i valori trigonometrici di \(\theta\).

Esempio di calcolo del doppio angolo (compreso il doppio angolo tangente)

Question : Utilizzare una formula del doppio angolo per seno, coseno e tangente, per l'angolo originale: \(\theta = \frac{\pi}{8}\).

Soluzione: Questo è qualcosa che puoi fare facilmente con questo calcolatore di identità a doppio angolo. Ci viene fornito l'angolo \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) radianti. Le seguenti formule del doppio angolo vengono utilizzate per trovare i valori trigonometrici del corrispondente doppio angolo \(2\theta\).

Per Il Loro:

\[ \begin{array}{ccl} \sin(2\theta) & = & \displaystyle \sin(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \sin(\frac{\pi{}}{8}) \cos(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \times 0.383 \times 0.924 \\\\ \\\\ & = & 1 \end{array}\]

Ora per coseno:

\[ \begin{array}{ccl} \cos(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \cos^2(\frac{\pi{}}{8}) - \sin^2(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.924^2 - 0.383^2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.8538 - 0.1467 \\\\ \\\\ & = & 0.707 \end{array}\]

Ora per tangente:

\[ \begin{array}{ccl} \tan(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \times \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \tan(\frac{\pi{}}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi{}}{8})} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \times 0.414}{1-0.1714} \\\\ \\\\ & = & 0.999 \end{array}\]

Pertanto, in base all'angolo fornito \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) radianti, le corrispondenti espressioni di doppio angolo sono \(\sin(2\theta) = 1\), \(\cos(2\theta) = 0.707\) e \(\tan(2\theta) = 0.999\).