Calcolatore di disuguaglianza di Markov

La disuguaglianza di Markov afferma che per un valore \(a > 0\), abbiamo per qualsiasi variabile casuale \(X\) che non assume valori negativi, viene sempre osservato il seguente limite superiore:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

La disuguaglianza di Markov è molto importante per stimare le probabilità, considerando la sua generalità nel senso che si applica a qualsiasi variabile casuale non negativa \(X\).

In effetti, la disuguaglianza di Markov è cruciale per dimostrare una disuguaglianza ampiamente utilizzata, che è La disuguaglianza di Chebyshev , ed è la base di una disuguaglianza ancora più acuta, che è la disuguaglianza di Hoeffding.

Markov's Inequality Intuition

Qual è l'intuizione dietro la disuguaglianza di Markov? Bene, in primo luogo, c'è il chiaro fattore che la probabilità su una coda destra ha un limite superiore che diminuisce sempre di più man mano che otteniamo una coda destra più lontana, il che in realtà è piuttosto ovvio.

Osserva la natura della disuguaglianza, ovvero che \(\frac{E(X)}{a}\) non è il valore esatto della probabilità della coda, ma è solo un limite superiore. Quanto è vicino questo limite? Bene, ora sappiamo che dipende dalla distribuzione effettiva, ma tuttavia esistono disuguaglianze più acute come la disuguaglianza di Hoeffding.

Tuttavia, esiste una regola molto chiara in matematica: più le ipotesi sono generali (meno specifiche), più debole è il teorema. Quindi, è piuttosto impressionante che la disuguaglianza di Markov esista considerando la natura molto generale dei suoi presupposti.

Ad esempio, il file regola empirica è una disuguaglianza molto più stretta, ma fa un'ipotesi molto più forte: che la distribuzione sottostante sia normale. La disuguaglianza di Markov funziona per qualsiasi distribuzione (di variabile non negativa)