Proprietà commutativa dell'addizione
La proprietà commutativa dell'addizione è uno dei presupposti cruciali fatti sulla matematica, che probabilmente dai per scontato e usi sempre senza saperlo.
L'idea di commutatività ruota attorno all'ordine di un'operazione. La domanda è: ce l'ho
\[\large a + b = b + a\]per qualsiasi numero \(a\) e \(b\)? Per te potrebbe essere una domanda stupida. Tipo "cosa intendi, ovviamente". Ma la commutatività non vale per TUTTE le operazioni. Ma è vero per la comune somma di numeri.
C'è qualche prova della commutatività dell'addizione? Tecnicamente no, perché è piuttosto un assioma per i numeri reali come campo algebrico.
Tuttavia, ma comprendendo come opera l'addizione, è facile CONVENIRE che la commutatività ha un senso, e quindi abbracciamo l'assioma.
Ad esempio, ha tutto il senso del mondo pensare che \(3 + 4\) è uguale a \(4 + 3\). Perché è quello ?? A causa del modo in cui conduciamo l'addizione nella nostra mente: è come contare 3 (diciamo usando le dita) e poi contiamo 4.
Quindi pensiamo che alla fine dovremmo contare la stessa quantità di dita, anche se contassimo 4 primi e 3 secondi.
Questo è un buon modo per vederlo. E il concetto da portare a casa da questo è che la commutatività NON è garantita, e alcune operazioni la avranno e altre no.
Altre operazioni che hanno commutatività
La commutatività è comune? Sì, più o meno. Ma non tutte le operazioni ce l'hanno. Anche quelli comuni. Ad esempio, la moltiplicazione dei numeri è commutativa. Questo, abbiamo quello
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]per tutti i numeri reali \(a\) e \(b\). Bello, quindi significa che la commutatività vale per tutte le operazioni comuni? Non tutto. Ad esempio, né la sottrazione né la divisione dei numeri sono commutative. In effetti, in generale
\[\large a - b = \not b - a\]e l'uguaglianza vale solo quando \(a = b\). Quindi, ad esempio, \(3 - 1 = 2\) e \(1 - 3 = -2\) non sono uguali. Quindi, la sottrazione dei numeri non è commutativa. Sorpreso? Bene, ora lo sai.
Inoltre, per la divisione abbiamo quello in generale
\[\large a / b = \not b / a\]e l'uguaglianza vale solo quando \(a = b\). Quindi, ad esempio, \(6 / 3 = 2\) e \(3 / 6 = 1/2\) non sono uguali. Quindi, la divisione dei numeri non è commutativa.
ESEMPIO 1
Considera la seguente operazione tra i numeri reali \(a\) e \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]Questa operazione è commutativa?
RISPOSTA:
Poiché l'addizione e la moltiplicazione dei numeri reali è commutativa, lo abbiamo
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]il che implica che l'operazione \(\odot\) è commutativa.
ESEMPIO 2
Ora considera la seguente operazione tra i numeri reali \(a\) e \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]Questa operazione è commutativa?
RISPOSTA:
Notare che
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]allora
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]che in generale non è zero. Quindi, questo implica che l'operazione \(\odot\) ora NON è commutativa.
Ulteriori informazioni sulla proprietà commutativa dell'addizione
Quindi, la commutatività sembra essere molto ovvia per l'aggiunta di numeri e anche per la moltiplicazione di numero. Ma vale per tutte le operazioni a cui possiamo pensare? Risposta rapida: assolutamente no.
Non abbiamo bisogno di andare troppo lontano per trovare esempi di operazioni che non sono commutative. Consideriamo ad esempio la moltiplicazione delle matrici. Potresti esserne sorpreso, ma la moltiplicazione delle matrici NON è commutativa.
In altre parole, puoi avere matrici \(A\) e \(B\) per le quali \(A \cdot B = \not B \cdot A\). Non ci credi? Dai un'occhiata: considera
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Allora in questo caso abbiamo quello
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]e
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]il che sta a dimostrare che NON è vero in generale che \(A \cdot B = B \cdot A\).
Puoi leggere di più sul proprietà commutativa e anche sul proprietà associativa . Queste due proprietà sono le fondamenta fondamentali della struttura per i numeri reali.