Algebra Tutorial

Proprietà commutativa

La proprietà Commutativa è una di quelle proprietà delle operazioni algebriche che non battiamo d'occhio, perché di solito è data per scontata. La proprietà commutativa ha a che fare con l'ordine dell'operazione tra due operandi, e come non importa in quale ordine li operiamo, otteniamo lo stesso risultato finale dell'operazione.

La proprietà commutativa è uno dei capisaldi dell'Algebra, ed è qualcosa che usiamo continuamente senza saperlo. È anche nelle nostre menti senza saperlo, quando usiamo per ottenere "l'ordine dei fattori non altera il prodotto".

Prima di tutto, dobbiamo capire il concetto di operazione. In termini matematici, un'operazione " $\circ$ " è semplicemente un modo per prendere due elementi $a$ e $b$ su un certo insieme $E$ e fare "qualcosa" con loro per creare un altro elemento $c$ nell'insieme $E$ .

Quindi, quando prendi due elementi $a$ e $b$ in un set, li gestisci con l'operazione " $\circ$ " e ottieni $c$ . Scrivi questo matematicamente come $a \circ b = c$ .

Definizione: Un'operazione $\circ$ è commutativa se per due elementi qualsiasi $a$ e $b$ abbiamo quella

a\circ b = b \circ a

Notare che non tutte le operazioni soddisfano questa proprietà commutativa, sebbene la maggior parte delle operazioni comuni lo facciano, ma non tutte. Infatti, l'addizione e la moltiplicazione soddisfano la proprietà commutativa, ma la sottrazione e la divisione no.

ESEMPIO 1

Molto che la sottrazione comune " $-$ " non è commutativa.

RISPOSTA:

Consideriamo infatti i numeri: $8$ e $4$ . Osserva che:

\large 8 - 4 = 4

mentre

\large 4 - 8 = -4

Quindi, $8 - 4$ non è uguale a $4 - 8$ , il che implica che la sottrazione " $-$ " non è commutativa.

ESEMPIO 2

Definiamo la seguente operazione:

\large a\circ b = ab+a+b

Questa operazione è commutativa?

RISPOSTA:

Osservalo

a \circ b = ab+a+b

D'altra parte, abbiamo anche quello

b \circ a = ba+b+a = ab + a + b

perché sia l'addizione comune che la moltiplicazione sono commutative. Quindi, possiamo vedere che $a \circ b = b \circ a$ . Quindi, l'operazione " $\circ$ " è commutativa.

Maggiori informazioni sulla commutatività

La commutatività è una proprietà che probabilmente hai usato senza pensarci molte, molte volte. Lo capisci fin dalle elementari, come una ninna nanna: "l'ordine dei fattori non altera il prodotto". E immagino che funzioni perché si attacca. Se ti dicessero "la moltiplicazione è un'operazione commutativa", e scommetto che rimarrà meno.

Una cosa importante è non confondere associatività con commutatività. Quando ci riferiamo all'associatività, intendiamo che qualunque coppia operiamo per prima, non ha importanza. Questo è non lo stesso come dire che l'ordine dell'operazione non ha importanza, che è proprietà dell'associatività.

Perché la proprietà commutativa è importante?

Il proprietà commutativa è molto importante perché consente un livello di flessibilità nel calcolo delle operazioni che altrimenti non avresti. Esistono strutture matematiche che non si basano sulla commutatività, e sono anche operazioni comuni (come la sottrazione e la divisione) che non la soddisfano. Quindi, la commutatività è una proprietà utile, ma non è sempre soddisfatta.