Proprietà commutativa
La proprietà Commutativa è una di quelle proprietà delle operazioni algebriche che non battiamo d'occhio, perché di solito è data per scontata. La proprietà commutativa ha a che fare con l'ordine dell'operazione tra due operandi, e come non importa in quale ordine li operiamo, otteniamo lo stesso risultato finale dell'operazione.
La proprietà commutativa è uno dei capisaldi dell'Algebra, ed è qualcosa che usiamo continuamente senza saperlo. È anche nelle nostre menti senza saperlo, quando usiamo per ottenere "l'ordine dei fattori non altera il prodotto".
Prima di tutto, dobbiamo capire il concetto di operazione. In termini matematici, un'operazione "\(\circ\)" è semplicemente un modo per prendere due elementi \(a\) e \(b\) su un certo insieme \(E\) e fare "qualcosa" con loro per creare un altro elemento \(c\) nell'insieme \(E\).
Quindi, quando prendi due elementi \(a\) e \(b\) in un set, li gestisci con l'operazione "\(\circ\)" e ottieni \(c\). Scrivi questo matematicamente come \(a \circ b = c\).
Definizione: Un'operazione \(\circ\) è commutativa se per due elementi qualsiasi \(a\) e \(b\) abbiamo quella
\[ a\circ b = b \circ a\]Notare che non tutte le operazioni soddisfano questa proprietà commutativa, sebbene la maggior parte delle operazioni comuni lo facciano, ma non tutte. Infatti, l'addizione e la moltiplicazione soddisfano la proprietà commutativa, ma la sottrazione e la divisione no.
ESEMPIO 1
Molto che la sottrazione comune "\(-\)" non è commutativa.
RISPOSTA:
Consideriamo infatti i numeri: \(8\) e \(4\). Osserva che:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]mentre
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Quindi, \(8 - 4\) non è uguale a \(4 - 8\), il che implica che la sottrazione "\(-\)" non è commutativa.
ESEMPIO 2
Definiamo la seguente operazione:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]Questa operazione è commutativa?
RISPOSTA:
Osservalo
\[ a \circ b = ab+a+b\]D'altra parte, abbiamo anche quello
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]perché sia l'addizione comune che la moltiplicazione sono commutative. Quindi, possiamo vedere che \(a \circ b = b \circ a\). Quindi, l'operazione "\(\circ\)" è commutativa.
Maggiori informazioni sulla commutatività
La commutatività è una proprietà che probabilmente hai usato senza pensarci molte, molte volte. Lo capisci fin dalle elementari, come una ninna nanna: "l'ordine dei fattori non altera il prodotto". E immagino che funzioni perché si attacca. Se ti dicessero "la moltiplicazione è un'operazione commutativa", e scommetto che rimarrà meno.
Una cosa importante è non confondere associatività con commutatività. Quando ci riferiamo all'associatività, intendiamo che qualunque coppia operiamo per prima, non ha importanza. Questo è non lo stesso come dire che l'ordine dell'operazione non ha importanza, che è proprietà dell'associatività.
Perché la proprietà commutativa è importante?
Il proprietà commutativa è molto importante perché consente un livello di flessibilità nel calcolo delle operazioni che altrimenti non avresti. Esistono strutture matematiche che non si basano sulla commutatività, e sono anche operazioni comuni (come la sottrazione e la divisione) che non la soddisfano. Quindi, la commutatività è una proprietà utile, ma non è sempre soddisfatta.