La proprietà associativa è una di quelle proprietà di cui non si parla molto, perché è data per scontata, e viene utilizzata sempre, senza saperlo. La proprietà associativa ha a che fare con quali operandi elaboriamo per primi quando si utilizzano più di due operandi e come non importa quali operandi agiamo per primi, in termini di risultato finale dell'operazione.

La proprietà associativa è un punto cardine in Algebra, ed è il fondamento della maggior parte delle operazioni che conduciamo quotidianamente, anche senza saperlo. Fare algebra senza la proprietà associativa, sebbene possibile, è piuttosto difficile. Ci sono strutture in Math in cui l'associatività non è considerata vera, ma quelle sono molto più limitate.

Al centro della proprietà associativa, dobbiamo prima comprendere l'idea di operazione. Senza entrare troppo nel tecnico, un'operazione "\(\circ\)" è semplicemente un modo per prendere due elementi \(a\) e \(b\) su un certo insieme \(E\), e fare "qualcosa" con loro per creare un altro elemento \(c\) nell'insieme \(E\).

Quindi, prendi \(a\) e \(b\), li azioni e ottieni \(c\). Tale azione può essere posta matematicamente come \(a \circ b = c\).

È importante osservare che hai utilizzato DUE elementi, \(a\) e \(b\), per ottenere \(c\). Faccio di nuovo un'enfasi, operi DUE elementi, \(a\) e \(b\). Fin qui tutto bene. Quindi, domanda, cosa succede se si desidera utilizzare tre elementi. Beh, dopo tutte le operazioni non puoi prendere DUE elementi, quindi cosa faresti con il terzo. Oppure puoi?

Ebbene, cosa succede se si azionano prima due di essi e poi si aziona il terzo con il risultato di azionare i primi due elementi? Sì, è possibile. Quindi, supponi di avere tre elementi \(a\), \(b\) e \(c\) e vuoi azionarli. Un modo è utilizzare prima \(a\) e \(b\), quindi utilizzare il risultato di con \(c\). Sarebbe \((a\circ b)\circ c\).

Notare la parentesi lì. È lì per una ragione. Scrivendo \((a\circ b)\circ c\) stai dicendo che stai operando prima \(a\) e \(b\), e POI agisci su \(c\). Giusto. Sembra un modo soddisfacente di utilizzare \(a\), \(b\) e \(c\). Ma è questo l'unico modo? E se operassi prima \(b\) e \(c\), e POI operassi \(a\) con il risultato dell'operazione \(b\) e \(c\). Lo scriveresti come \(a\circ (b\circ c)\).

Ora la grande domanda: è lo stesso se utilizzo quei tre elementi nei modi mostrati sopra. Ottengo lo stesso risultato finale se opero i primi due e il risultato viene operato con il terzo, oppure se opero il primo elemento con i risultati dell'azionamento degli altri due? O semplicemente, \((a\circ b)\circ c\) è uguale a \(a\circ (b\circ c)\). Cari amici, la risposta dipende dal fatto che l'operazione sia associativa.

Definizione: Un'operazione \(\circ\) è associativa se per tre elementi qualsiasi \(a\), \(b\) e \(c\), abbiamo quello

Non tutte le operazioni soddisfano questa proprietà associativa, la maggioranza lo fa, ma alcune no. Le operazioni più comuni, quelle che conosciamo, soddisfano l'associatività, come la somma o la moltiplicazione

ESEMPIO 1

Controlla alcuni numeri per convincerti che l'associatività è soddisfatta per la somma comune "\(+\)".

RISPOSTA:

Ad esempio, consideriamo 3 numeri: \(8\), \(4\) e \(7\). Controlliamo se l'associatività è soddisfatta per questi dati. Notare che:

D'altra parte, abbiamo quello

Quindi, in questo caso \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

La proprietà associativa utilizzata per definire operazioni con più di due operandi

Quindi, non tutte le operazioni sono associative, ma la maggior parte di quelle che conosciamo lo sono. Quando l'associatività è soddisfatta, possiamo definire, senza ambiguità, operazione di più di due operandi. Per semplificare, scriviamo semplicemente \(a \circ b \circ c\), senza parentesi perché a causa della proprietà di associatività, sappiamo che non importa come raggruppiamo gli operandi, otterremo lo stesso risultato finale dell'operazione.

ESEMPIO 2

Definiamo la seguente operazione:

Questa operazione è associativa?

RISPOSTA:

Notare che

D'altra parte, abbiamo quello

Quindi, non è sempre vero che \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). L'operazione, l'operazione "\(\circ\)" non è associativa.