बहुपद समीकरणों के बारे में

इस कैलकुलेटर का उपयोग करें ताकि आप बहुपद समीकरणों को हल करने में मदद करें, प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाते हुए।आपके द्वारा प्रदान किए गए समीकरण में समीकरण के बाईं और दाईं ओर बहुपद शब्द हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आप 3x^3 - 2x = 1 + x जैसा समीकरण प्रदान कर सकते हैं, जिसे क्यूबिक और एक रैखिक फ़ंक्शन के रेखांकन के चौराहे को खोजने की कोशिश से लिया जा सकता है।कोई भी बहुपद समीकरण इंटेगर या अंश गुणांक, या किसी भी मान्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ करेगा।

एक बार जब एक बहुपद समीकरण को फॉर्म बॉक्स में टाइप किया जाता है, तो आपको "गणना" पर क्लिक करने की आवश्यकता होती है, जो प्रक्रिया और समाधान के सभी चरणों को दिखाएगा।

एक अस्वीकरण, सभी बहुपद समीकरणों को बुनियादी उपकरणों के साथ हल नहीं किया जा सकता है।डिग्री 5 या उच्चतर के बहुपद समीकरण से निपटने के लिए कोई व्यवस्थित सूत्र नहीं है।इसके अलावा, हम अतिरिक्त कठिनाई से निपटते हैं कि एक बहुपद समीकरण के समाधान जटिल संख्या हो सकते हैं।

एक बहुपद समीकरण क्या है

एक बहुपद समीकरण, सरल शब्दों में, एक समीकरण है जिसमें दोनों पक्षों में बहुपद होते हैं।गणितीय रूप से, एक बहुपद समीकरण रूप का है:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

जहां \(p(x)\) और \(q(x)\) बहुपद हैं।उदाहरण के लिए \(3x+1 = x^2-2\) एक बहुपद समीकरण है, लेकिन \(\sin(3x+1) = x^2-2\) नहीं है।

बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए क्या कदम हैं?

• Letsunt 1: उस समीकरण को पहचानें, जिसके साथ आप काम करना चाहते हैं, स्पष्ट रूप से बाईं और दाईं ओर शर्तों को इंगित करते हैं, और सुनिश्चित करें कि वे बहुपद हैं
• Their दो दो: जितना संभव हो उतना प्रत्येक पक्ष को सरल बनाएं।पक्षों में से एक पर सभी शर्तों को दूसरे को पास करें (यदि दोनों पक्षों के पास शर्तें हैं)
• Theirण 3: अब आपके पास एक बहुपद समीकरण है जो शून्य के बराबर है, इसलिए हमें बहुपद की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है
• च ४: ४: हम संभावित तर्कसंगत जड़ों के साथ प्रयास करते हैं, कमी और द्विघात सूत्र के लिए बहुपद विभाजन, जैसा कि में दिखाया गया है बहुपद rautun ther यदि संभव हो तो समाधान खोजने के लिए

आप पाएंगे कि बहुपद समीकरणों को हल करना, क्योंकि एक बहुपद की जड़ें खोजना सभी मामलों के लिए तुच्छ से दूर है।निश्चित रूप से, कुछ विशिष्ट उदाहरण बहुत सरल हो सकते हैं, लेकिन जब इसमें शामिल बहुपदों का घातांक बड़ा होता है, तो प्रक्रिया बहुत मुश्किल या बस असंभव हो सकती है।

क्या द्विघात समीकरण भी बहुपद समीकरण हैं?

हाँ, वास्तव में!एक द्विघात समीकरण बाईं ओर डिग्री 2 के बहुपद के साथ एक समीकरण है, और 0 (जो कि एक बहुपद भी है) दाईं ओर, इसलिए यह परिभाषा पर फिट बैठता है।

वास्तव में, तमाम सबसे अच्छे के बारे में हम सरल उपकरणों के साथ हल कर सकते हैं।हालांकि क्यूबिक और क्वार्टिक समीकरणों के लिए सूत्र हैं, लेकिन डिग्री 5 या उच्चतर के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है।तो फिर हम अक्सर संख्यात्मक अनुमानों को खोजने के लिए कंप्यूटर पर भरोसा करते हैं।

इसके अलावा, न केवल बहुपद का घातांक एक समीकरण को हल करने के लिए कठिन बना सकता है, साथ ही बोझिल बहुपद गुणांक भी निश्चित रूप से चीजों को और अधिक कठिन बना सकता है।

बहुपद समीकरणों से संबंधित बहुपद का ग्राफ कैसे है?

इसे देखने के अलग -अलग तरीके हैं, लेकिन एक तरीका यह है कि विभिन्न बहुपदों के चौराहे को खोजने की कोशिश करके, हम वास्तव में एक बहुपद समीकरण को हल कर रहे हैं।तो कसकर संबंधित समस्याएं हैं।

उदाहरण: बहुपद समीकरणों को हल करना

निम्नलिखित बहुपद समीकरण की गणना करें: \(x^2 = x^3\)

तमाम: हमें \(x^2 = x^3\)को हल करना है, इसलिए हम \(x^3\)को दूसरी तरफ से पास करते हैं, इसलिए हमें मिलता है

\[ x^2 - x^3 = 0\]

और फैक्टरिंग की ओर जाता है:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

तो फिर दो समाधान हैं: \(x_1 = 0\)(जिसमें बहुलता 2 है), और \(x_2 = 1\)।

उदाहरण: बहुपद समीकरणों को हल करना

निम्नलिखित समीकरण के समाधान क्या हैं: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

तमाम: हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

पraurauraurauray: इस मामले में, हमें पहले दिए गए समीकरण \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \)को सरल बनाने की आवश्यकता है, सभी शर्तों को समीकरण के एक तरफ रखकर, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, सरलीकरण के बाद, हमें आदेश \(2\)के निम्नलिखित बहुपद समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

देखें कि दिए गए बहुपद की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 2\)है, इसका प्रमुख गुणांक \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\)है और इसका निरंतर गुणांक \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\)है।

हमें निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\)को हल करने की आवश्यकता है।

फार्म \(a x^2 + bx + c = 0\)के एक द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है वह \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\)है, जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

सबसे पहले, हम जड़ों की प्रकृति का आकलन करने के लिए भेदभाव की गणना करेंगे।भेदभाव की गणना की जाती है:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\)है, जो सकारात्मक है, हम जानते हैं कि समीकरण में दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

इस मामले में, द्विघात समीकरण \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), की दो वास्तविक जड़ें हैं, इसलिए फिर:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

तो फिर मूल बहुपद \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \)के रूप में फैक्टर किया जाता है, जो कारक को पूरा करता है।

तिहाई : कारक प्रक्रिया का उपयोग करके पाए गए बहुपद समीकरण का समाधान \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) और \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) हैं।

अधिक बहुपद कैलकुलेटर

बहुपद समीकरण बीजगणित में स्वाभाविक रूप से इतने दिखाई देते हैं, कि वे बीजगणित में सबसे महत्वपूर्ण विषयों में से एक हैं।जब आप दो के चौराहे की तलाश कर रहे हैं एक प्रकार का , तुम्हें यह करना पड़ेगा एक बहुपद rurण को हल हल क , बस कई की एक स्थिति का उल्लेख करने के लिए।

एक बहुपद समीकरण का सबसे सरल मामला मामला है जब आप हल करते हैं रोटी , जो वास्तव में एक तुच्छ मामला है।जो कुछ भी रैखिक नहीं है वह बहुत अधिक काम करेगा।

बहुपद समीकरण को हल करना सीधा नहीं है, खासकर उच्च के लिए डिग rayrी ।वास्तव में, कुछ संभावना है कि आप किसी दिए गए समीकरण के सभी समाधान को मैन्युअल रूप से (या उस मामले के लिए कोई समाधान) नहीं पा पाएंगे।

सबसे अच्छा मैनुअल विकल्प में एक तरफ सभी बहुपद शब्दों को समूहित करना शामिल है ताकि इसे कम किया जा सके अफ़रसी ।फिर, हम जब संभव हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं, और बहुपद के क्रम को कम करने का प्रयास करते हैं अँगुला और यह तमाम ।