गणित की दरारें - भागों द्वारा एकीकरण के लिए एक अच्छा दृष्टिकोण

परिचय

कई कैलकुलस छात्रों के लिए भागों द्वारा एकीकरण का विचार काफी डरावना लगता है, और मुझे लगता है कि इसके लिए एक अच्छा कारण है। सबसे पहले, भागों द्वारा एकीकरण एक ऐसी तकनीक है जिसमें एक चरण के बजाय दो चरण (या अधिक) शामिल होते हैं जैसा कि अधिकांश छात्र चाहेंगे। छात्र कुछ फॉर्मूला लागू करना चाहते हैं और तुरंत उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं, लेकिन कैलकुलस में अक्सर उत्तर एक अनुक्रम (कभी-कभी एक लंबा) चरणों के बाद आते हैं।

के अलावा प्रतिस्थापन की विधि , अभिन्नों को हल करने के लिए भागों विधि द्वारा एकीकरण सबसे महत्वपूर्ण तरीका है जो प्राथमिक नहीं हैं।

सबसे पहले, मामले के एक सिद्धांत के रूप में, अभिन्न कैलकुलस आमतौर पर छात्रों के लिए कठिन होने का एक कारण एकीकरण के लिए उपयोग किया जाने वाला दुर्भाग्यपूर्ण संकेतन है। वास्तव में, किसी फलन \(f\left( x \right)\) के अनिश्चित समाकलन की गणना करते समय, हम निम्नलिखित संकेतन का सामना करते हैं:

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

क्या ये वही हैं?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

बिल्कुल! यही कारण है कि आप कभी-कभी एकीकरण चर (क्रमशः x या u) को "डमी" चर के रूप में संदर्भित करते हैं, क्योंकि यह वास्तव में एकीकरण प्रक्रिया में कोई भूमिका नहीं निभाता है।

एक रिवर्स उत्पाद नियम के रूप में भागों द्वारा एकीकरण

एक संक्षिप्त परिचय के बाद, अब हम पीछा करने के लिए कट गए। पाठ्यपुस्तकों में दिखाए गए भागों के सूत्र द्वारा विशिष्ट एकीकरण है

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

तब आप कहते हैं, "हुह? वह क्या है?" जाहिर है, उपरोक्त \(u\) और \(dv\) को अर्थ दिए बिना, यह देखना मुश्किल है कि इसके बारे में क्या है। आपके पास एक प्रश्न हो सकता है: भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण में DV's और du's शामिल क्यों हैं, यदि वे एकीकरण प्रक्रिया में एक भूमिका भी नहीं निभाते हैं, जैसा कि परिचय में दिखाया गया है?

उत्तर सरल है: उपरोक्त भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण के संदर्भ में, \(du\) और \(dv\) "डमी चर" नहीं हैं, बल्कि इसके बजाय वे कार्य हैं। स्मरणीय रूप से, उपरोक्त भाग व्यायाम द्वारा एकीकरण को हल करने के लिए अच्छा है, लेकिन यह समझना अच्छा नहीं है कि यह वास्तव में क्यों सच है या यह क्यों काम करता है।

उत्पाद नियम दर्ज करें:

उत्पाद नियम कहता है कि:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

संक्षेप में, मैं लिखना पसंद करता हूँ

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

लेकिन रुकें! क्या हम इस लेख में एकीकृत नहीं कर रहे हैं? मैं भेदभाव नियम क्यों लाऊं ?? हम, क्या इंटीग्रल के लिए भी उत्पाद नियम का होना बहुत अच्छा नहीं होगा? क्या यह बहुत अच्छा नहीं होगा यदि \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? दुर्भाग्य से ऐसा नहीं है, लेकिन अभी भी इंटीग्रल के लिए एक उत्पाद नियम है, केवल यह कि यह थोड़ा अधिक जटिल है।

आइए समीकरण (3) को पुनर्व्यवस्थित करें, हम प्राप्त करते हैं:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

इसलिए, यदि हम ऊपर की समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

जो एकीकरण की रैखिकता की ओर जाता है

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

और यहाँ मेरे दोस्तों, आंशिक रूप से आपका एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण को एक शांत एकीकरण उपकरण के रूप में देखा जाना चाहिए जो मुझे दो कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने की अनुमति देता है। लेकिन यह थोड़ा अधिक प्रतिबंधात्मक है, क्योंकि यह दो कार्यों का उत्पाद है लेकिन कार्यों में से एक कुछ फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होना चाहिए।

इसलिए, भागों के नियम द्वारा एकीकरण को फलदायी रूप से लागू करने के लिए मुझे तीन चीजें होने की आवश्यकता है:

मैं दो कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने का प्रयास कर रहा हूं।
उनमें से एक किसी चीज़ का व्युत्पन्न कार्य करता है (इसलिए यह \(g'\) रूप का है)।
मुझे यह जानने की जरूरत है कि उस चीज की गणना कैसे करें (मुझे यह जानने की जरूरत है कि \(g\) कौन है)

यदि वे तीन स्थितियां होती हैं, तो मैं भागों के नियम द्वारा एकीकरण का उपयोग कर सकता हूं

याद रखें: भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करते समय आपको दो कार्यों के उत्पाद की आवश्यकता होती है, और उन दो कार्यों में से एक को उस चीज़ का व्युत्पन्न होना चाहिए जिसे आप जानते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि आप कब भागों द्वारा एकीकरण लागू नहीं कर सकते: निम्नलिखित अभिन्न पर विचार करें:

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

इस मामले में, हम दो कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने का प्रयास कर रहे हैं: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) और \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), लेकिन क्या आप जानते हैं कि इन दो कार्यों में से किसी का भी प्रतिपक्षी क्या है? या दूसरे शब्दों में, क्या आप जानते हैं कि अंतर करने के बाद कौन से फ़ंक्शन \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) या \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) में से किसी की ओर ले जाते हैं? कुंआ। नहीं। उन दो कार्यों में प्राथमिक विरोधी नहीं हैं, इसलिए भागों द्वारा एकीकरण इस मामले में मदद नहीं करेगा।

अब एक उदाहरण जहां भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया जा सकता है:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

इस मामले में हम दो कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने का प्रयास कर रहे हैं: \({{x}^{2}}\) और \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), और मुझे पता है कि \({{x}^{2}}\) का प्रतिपक्षी क्या है। इसलिए मैं नियम का उपयोग कर सकता हूं। हमारे पास निम्नलिखित संकेतन है:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

तो हमारे पास

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

\(f\) को अलग करने और \(g'\) को एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(ध्यान दें कि ऊपर बताया गया \(g\left( x \right)\) एक संभावित प्रतिअवकलन है, लेकिन नियम यह है कि मैं कोई भी प्रतिपक्षी चुन सकता हूं, इसलिए मैं सबसे सरल का चयन करता हूं)। भागों द्वारा एकीकरण है

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

इसलिए हमारे पास मौजूद जानकारी को प्लग करने पर, हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

इसलिए मैंने उपरोक्त नियमों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया है, लेकिन वास्तव में, मैं हल करने के लिए एक कठिन अभिन्न अंग में उतरा हूं। यह है, \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) को हल करने के लिए हमें पहले यह जानना होगा कि \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\) की गणना कैसे करें जो वास्तव में कठिन है।

इस कहानी का नैतिक यह है कि भागों द्वारा एकीकरण इंटीग्रल के लिए एक प्रकार का उत्पाद नियम है, और आप एक विशिष्ट संरचना की तलाश कर रहे हैं: यह दो कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग है, और उन कार्यों में से एक है जिसे आपको जानना आवश्यक है कि कैसे इसके व्युत्पन्न की गणना करने के लिए। यदि ऐसा है, तो आप व्यवसाय में हैं और आप भागों द्वारा एकीकरण नियम लागू कर सकते हैं।

लेकिन, जैसा कि पिछले उदाहरण में देखा जा सकता है, तथ्य यह है कि आप भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग कर सकते हैं इसका मतलब यह नहीं है कि यह हर बार उपयोगी होगा।