शेष प्रमेय कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको कुशलतापूर्वक और आसानी से शेष प्रमेय का उपयोग करने में मदद कर सकता है।इसका उपयोग करने के लिए, आपको एक वैध बहुपद प्रदान करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, 3x^4 - 3x^2 + 6) और एक वैध संख्यात्मक अभिव्यक्ति (जैसे 2, या 3/4) जहां आप मूल्यांकन करना चाहते हैंबहुपद पर।

प्रदान किया गया बहुपद कोई भी हो सकता है डिगthurी आप kana हैं हैं , जब तक यह एक वैध बहुपद है।इसमें पूर्णांक या अंश गुणांक हो सकते हैं, या अंततः कोई भी मान्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक गुणांक हो सकती है (जैसे कि SQRT (2))।आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली पॉलीओनोमियल सरल हो सकती है या नहीं, यह कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि कैलकुलेटर होगा बहुपद को rurल kanay पहले, अगर जरूरत हो।

एक बार एक मान्य बहुपद प्रदान किया जाता है, इसका मूल्यांकन करने के लिए एक वैध संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ, आपको "गणना" बटन को धक्का देने की आवश्यकता है, और प्रक्रिया के सभी चरण आपको प्रदान किए जाएंगे।

The प rayrमेय बीजगणित में अत्यंत महत्व है, इसलिए आप यह करेंगे कि यह इस कैलकुलेटर के लिए काम आएगा, ताकि प्रक्रिया को बहुत आसान बनाया जा सके।

शेष प्रमेय क्या है

शेष प्रमेय एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि जब आप दो बहुपदों को विभाजित करते हैं, तो आपको एक भागफल और एक शेष, दोनों बहुपद मिलेंगे।

यह संख्याओं के विभाजन की यादें लाता है: दो नंबरों को विभाजित करते समय, आप एक भागफल और शेष पाते हैं, शानदार संपत्ति के साथ कि शेष विभाजक से कम है।वास्तव में बहुपद के साथ भी ऐसा ही होता है, केवल उस मामले में, शेष की डिग्री कम होती है तो विभाजक की डिग्री।

हमें इसे गणितीय रूप से रखना होगा: मान लें कि आपके पास एक बहुपद \(p(x)\) है और आप इसे \(s(x)\) द्वारा विभाजित करना चाहते हैं।शेष प्रमेय में कहा गया है कि वहाँ एक भागफल मौजूद है \(q(x)\) और एक शेष \(r(x\) संपत्ति के साथ

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

जहां शेष की डिग्री \(r(x)\) भाजक की डिग्री से कम है \(s(x)\)।ये भागफल और शेष की सहायता से पाया जा सकता है अफ़स्या ।

शेष प्रमेय के अन्य कोण यह है कि उपरोक्त अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जा सकता है

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

अब, यदि भाजक के पास ऑर्डर 1 है, तो कहें \(s(x) = x-a\), शेष प्रमेय बन जाता है

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

अब, \(r(x)\) एक स्थिर \(r(x) = r\) बन जाता है, क्योंकि भाजक के पास डिग्री 1 है, और फिर शेष में डिग्री शून्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि शेष स्थिर है।

तो, उपरोक्त सूत्र में x = a प्लगिंग की ओर जाता है

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

शेष प्रमेय का निष्कर्ष, और निचला रेखा यह है कि p (a) (x-a) द्वारा विभाजित p (x) को विभाजित करने का शेष है, जो उपयोग किया जा सकता है अफ़रप ।अप्रत्यक्ष रूप से एक मूल्य पर बहुपद का मूल्यांकन करने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है तमाम ।

शेष प्रमेय का उपयोग करने के लिए कदम

• Letsunt 1: बहुपद p (x) और भाजक s (x) की पहचान करें
• Therur the: यदि आप भागफल और शेष ढूंढना चाहते हैं, तो सामान्य रूप से आप लॉन्ग डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं
• Theirण 3: यदि आप एक बिंदु x = a पर p (x) का मूल्यांकन करना चाहते हैं, तो बस सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग करके x-A द्वारा P (x) को विभाजित करें

जैसा कि आप देख सकते हैं, शेष प्रमेय, बहुपद विभाग, सिंथेटिक डिवीजन और लॉन्ग डिवीजन एक दूसरे से कसकर संबंधित हैं, और एक ही ऑब्जेक्ट के अलग -अलग पक्ष हैं।

शेष प्रमेय का उपयोग करके आप कैसे लाभान्वित होते हैं?

शेष प्रमेय का उपयोग कई क्षमताओं में किया जाता है।आमतौर पर, इसका उपयोग किया जाता है एक बहुपद kaynaunaun therें दिए गए मान x = a पर, और विशेष रूप से, यह निर्धारित करें कि यह बहुपद की जड़ है या नहीं (यदि P (a) = 0)।

कुल मिलाकर, शेष प्रमेय आपको जड़ों का पता लगाने की लचीलापन देता है, जो फैक्टरिंग बहुपद के समय एक महत्वपूर्ण क्षमता है।

सफलता के लिए युक्तियाँ

आमतौर पर, जब बहुपद के साथ काम करते हैं, तो प्रत्यक्ष मूल्यांकन की तुलना में सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है, खासकर जब आप हाथ से काम कर रहे होते हैं।

संकेतों के साथ गलतियों से बचना, और साथ सावधान रहना तंग प्रमेय को सही ढंग से लागू करने की अपनी संभावना बढ़ा सकते हैं।

उदाहरण: शेष प्रमेय और सिंथेटिक प्रतिस्थापन

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, बहुपद के लिए \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) खोजें \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)>

तमाम: हमारे पास \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) है, और हमें इसका मूल्यांकन \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) पर किया जाना चाहिए, और किस उद्देश्य के लिए हम शेष प्रमेय का उपयोग करेंगे।

इसलिए हम विभाजित करते हैं: \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), भाजक द्वारा \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), और फिर हम शेष पाते हैं।

Letsunt 1: \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle \frac{1}{2}\)।

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(\displaystyle 2\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Theirण 3: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मान जोड़ना: \( \displaystyle -3+1 = -2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

च ५: ५: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ना: \( \displaystyle 2-1 = 1\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Their च 7: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मान जोड़ना: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Lenturachut: इसलिए और शेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = -2\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\)।

उदाहरण: शेष प्रमेय का उपयोग करना

डिग्री 4 के निम्नलिखित बहुपद पर विचार करें: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\)।\(p(-1)\) की गणना करने के लिए शेष प्रमेय का उपयोग करें।

तमाम: निम्नलिखित बहुपद प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), जिसका मूल्यांकन उस बिंदु पर किया जाना चाहिए \(\displaystyle x = -1\) शेष प्रमेय का उपयोग करके।

शेष प्रमेय का उपयोग करने के लिए, हमें सिंथेटिक प्रतिस्थापन का संचालन करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हमें एक सिंथेटिक डिवीजन: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), और भाजक \(\displaystyle s = x+1\), और फिर शेष को खोजने की आवश्यकता है।

निरीक्षण करें कि लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 4\) है, जबकि विभाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle -1\)।

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(\displaystyle 1\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Theirण 3: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मान जोड़ना: \( \displaystyle 0-1 = -1\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

च ५: ५: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ना: \( \displaystyle -3+1 = -2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Their च 7: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मान जोड़ना: \( \displaystyle 2+2 = 4\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Reyruther 9: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 4 में परिणाम से गुणा करना: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

च च 10: अब कॉलम 5 में मान जोड़ना: \( \displaystyle -1-4 = -5\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 5 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि हम अंतिम कॉलम में परिणाम के लिए पहुंचे हैं, जिसमें शेष शामिल हैं।

Lenturachut: इसलिए और शेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\), हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = -5\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\)।

उदाहरण: एक और शेष प्रमेय आवेदन

क्या x = 3 बहुपद की एक जड़ है \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

तमाम: हमारे पास \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) है, और हम इस बहुपद बिंदु पर मूल्यांकन करेंगे \(\displaystyle x = 3\) यह देखने के लिए कि क्या यह एक जड़ है।

इसलिए हम लाभांश का उपयोग करते हैं \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), और भाजक \(\displaystyle s = x-3\), और फिर हमें शेष को खोजने की आवश्यकता है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle 3\)।

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(\displaystyle 1\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Theirण 3: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मान जोड़ना: \( \displaystyle -1+3 = 2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

च ५: ५: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ना: \( \displaystyle 1+6 = 7\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Their च 7: डिवीजन बॉक्स में टर्म को कॉलम 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) में परिणाम से गुणा करना और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मान जोड़ना: \( \displaystyle -2+21 = 19\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Lenturachut: इसलिए और शेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x-3\), हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = 19\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\)।चूंकि \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(x = 3\) बहुपद की जड़ नहीं है।

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ध्यान दें कि शेष प्रमेय का उपयोग प्रत्यक्ष उपयोग से कैसे किया जा सकता है संशth -yaurymamaut पद , जो बदले में उपयोग करके लागू किया जाता है अफ़स ।तो तो स्पष्ट रूप से प rayrमेय साथ ही बहुपद के विभाजन के साथ अंतरंग रूप से जुड़े हुए हैं बहुपद की जड़ें kayna ।