फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा पर जाना मेरे लिए महत्वपूर्ण लग रहा था। विभेदीकरण की प्रक्रिया (यह है, व्युत्पन्न की गणना करना) कैलकुलस और यहां तक कि गणित में सबसे मौलिक कार्यों में से एक है। इस मैथ क्रैक ट्यूटोरियल में मैं व्युत्पन्न क्या है और क्या करता है, के अर्थ और व्याख्या में कुछ प्रकाश डालने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, यह स्पष्ट करने के उद्देश्य से कि इस ट्यूटोरियल का दायरा क्या है, मैं यह कहना चाहूंगा कि हम डेरिवेटिव से संबंधित विशिष्ट अभ्यास समस्याओं को हल करने का अभ्यास नहीं करेंगे, बल्कि हम यह समझने का प्रयास करेंगे कि हम कब क्या कर रहे हैं। डेरिवेटिव के साथ काम कर रहा है। एक बार जब हम समझ जाते हैं कि हम क्या कर रहे हैं, तो हमारे पास समस्याओं को हल करने का एक बेहतर मौका है।

एक व्युत्पन्न की परिभाषा (उबाऊ नहीं)

आरंभ करने के लिए, व्युत्पन्न की कम से कम परिभाषा लिखना अनिवार्य है। मान लें कि \(f\) एक फलन है और \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)। ठीक है, हमने पहले ही तकनीकी के साथ शुरुआत कर दी है? हम केवल इतना कह रहे हैं कि \(f\) एक फलन है। नीचे दिखाए गए चित्रमय प्रतिनिधित्व द्वारा \(f\) फ़ंक्शन के बारे में सोचें:

साथ ही, जब हम कहते हैं कि "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", हम केवल इतना कह रहे हैं कि \({{x}_{0}}\) एक ऐसा बिंदु है जहां फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित है (इसलिए यह इसके अंतर्गत आता है कार्यक्षेत्र ) लेकिन रुकिए, क्या यह संभव है कि एक बिंदु \({{x}_{0}}\) एक फ़ंक्शन को अच्छी तरह से परिभाषित न करे….? निश्चित रूप से! निम्नलिखित फ़ंक्शन पर विचार करें:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

ऐसा फ़ंक्शन \({{x}_{0}}=1\) पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। यह \({{x}_{0}}=1\) पर क्या अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है? क्योंकि अगर हम \({{x}_{0}}=1\) के मान को उस फंक्शन में प्लग करते हैं जो हमें मिलता है

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

जो एक INVALID ऑपरेशन है (जैसा कि आप प्राथमिक विद्यालय से जानते हैं, आप कम से कम पारंपरिक अंकगणितीय नियमों के साथ शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं), तो फिर फ़ंक्शन \({{x}_{0}}=1\) पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। किसी फ़ंक्शन को एक बिंदु पर अच्छी तरह से परिभाषित करने का मतलब है कि किसी भी अमान्य संचालन के अस्तित्व के बिना, उस बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया जा सकता है।

तो अब हम इसे फिर से कह सकते हैं, क्योंकि अब आप जानते हैं कि हमारा क्या मतलब है: मान लें कि \(f\) एक फ़ंक्शन है और \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)। बिंदु \({{x}_{0}}\) पर अवकलज को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

जब ऐसी सीमा मौजूद है।

ठीक है, यह समस्या का मांस है, और हम इस पर एक सेकंड में चर्चा करेंगे। मैं चाहता हूं कि आप यहां कुछ चीजें बेहद स्पष्ट करें:

• जब उपरोक्त सीमा मौजूद होती है, तो हम \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) कहते हैं, और इसे "\({{x}_{0}}\) बिंदु पर फ़ंक्शन \(f\left( x \right) \) का व्युत्पन्न" कहा जाता है। तो फिर, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) केवल एक प्रतीक है जिसका उपयोग हम \(f\left( x \right) \) बिंदु \({{x}_{0}}\) (जब यह मौजूद है) पर \(f\left( x \right) \) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को संदर्भित करने के लिए करते हैं। हम "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" या "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)" जैसे किसी अन्य प्रतीक का उपयोग कर सकते थे। लेकिन कुछ सौंदर्य बोध हमें "\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)" पसंद करते हैं।

मुद्दा यह है कि \({{x}_{0}}\) बिंदु पर \(f\left( x \right) \) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को संदर्भित करने के लिए एक मेड यूपी प्रतीक है। गणित में मजेदार बात यह है कि अंकन मायने रखता है। भले ही एक अवधारणा मौजूद है, भले ही इसे व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संकेतन के बावजूद, एक तार्किक, लचीला, कॉम्पैक्ट नोटेशन चीजों को आग लगा सकता है, जो एक बोझिल, बिना प्रेरणा के संकेतन के साथ हो सकता है।

नोटेशन द्वारा निभाई गई भूमिका

(ऐतिहासिक रूप से, व्युत्पन्न, लीबनिज़ और न्यूटन की अवधारणा के प्रयोग करने योग्य संस्करण के दो एक साथ डेवलपर्स ने मौलिक रूप से अलग-अलग नोटेशन का इस्तेमाल किया। न्यूटन ने \(\dot{y}\) का इस्तेमाल किया, जबकि लीबनिज़ ने \(\frac{dy}{dx}\) का इस्तेमाल किया। लीबनिज़ नोटेशन आग लग गई और कैलकुलस के पूर्ण विकास की सुविधा प्रदान की, जबकि न्यूटन के नोटेशन एक से अधिक सिरदर्द का कारण बना। वास्तव में, यह इतना महत्वपूर्ण था)।

• व्युत्पत्ति एक बिंदुवार संक्रिया है। इसका मतलब है कि यह किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के लिए किया गया ऑपरेशन है, और इसे बिंदु से सत्यापित करने की आवश्यकता है। निश्चित रूप से वास्तविक रेखा \(\mathbb{R}\) जैसे एक विशिष्ट डोमेन में अनंत अंक होते हैं, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न परिभाषित होने पर हाथ से जांच करने में कुछ समय लग सकता है। लेकिन, कुछ नियम हैं जो एक सामान्य बिंदु \({{x}_{0}}\) पर व्युत्पन्न की गणना करके काम को बहुत सरल बनाने की अनुमति देते हैं और फिर विश्लेषण करते हैं कि \({{x}_{0}}\) के कौन से मान व्युत्पन्न को परिभाषित करने वाली सीमा मौजूद हैं। तो आप आराम कर सकते हैं, क्योंकि अगर आप जानते हैं कि आप क्या कर रहे हैं तो किरकिरा काम कर लगाने के लिए नहीं होगा।

• जब किसी फलन का अवकलज \(f\) एक बिंदु \({{x}_{0}}\) पर मौजूद होता है, तो हम कहते हैं कि फलन \({{x}_{0}}\) पर अवकलनीय है। साथ ही, हम कह सकते हैं कि किसी क्षेत्र में एक फलन अवकलनीय होता है (एक क्षेत्र बिंदुओं का एक समूह होता है) यदि फलन उस क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। तो फिर, भले ही व्युत्पन्न की अवधारणा एक बिंदुवार अवधारणा है (एक विशिष्ट बिंदु पर परिभाषित), इसे एक वैश्विक अवधारणा के रूप में समझा जा सकता है जब इसे किसी क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित किया जाता है।

• यदि हम \(D\) को वास्तविक रेखा में सभी बिंदुओं के समुच्चय को परिभाषित करते हैं जहां किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है, तो हम व्युत्पन्न फ़ंक्शन \(f'\) को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं:

यह एक फ़ंक्शन है क्योंकि हम प्रत्येक \(x\) को \(D\) पर \(f'\left( x \right) \) मान के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ते हैं। इसका अर्थ यह है कि \(D\) पर \(x\) का प्रत्येक मान \(f'\left( x \right) \) मान से जुड़ा है। सभी जोड़ियों का सेट \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), \(x\in D\) के लिए एक फ़ंक्शन बनाता है, और आप वे सभी काम कर सकते हैं जो आप फ़ंक्शंस के साथ कर सकते हैं, जैसे कि उन्हें रेखांकन करना।

इससे इस सवाल का समाधान होना चाहिए कि कई छात्रों के पास डेरिवेटिव के बारे में है, क्योंकि उन्हें आश्चर्य होता है कि हमारे पास व्युत्पन्न "फ़ंक्शन" कैसे होता है, जब व्युत्पन्न एक निश्चित विशिष्ट बिंदु पर गणना की जाती है। खैर, इसका उत्तर यह है कि हम कई बिंदुओं पर व्युत्पन्न की गणना करते हैं, जो व्युत्पन्न को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करने के लिए आधार प्रदान करता है।

अंतिम शब्द: संकेतन नरक

जब व्युत्पन्न की अवधारणा को आधुनिक रूप में रखा गया था, तो हम न्यूटन और लाइबनिज़ द्वारा जानते हैं (मैं "आधुनिक रूप" शब्द पर जोर देता हूं, क्योंकि कैलकुलस लगभग पूरी तरह से यूनानियों और अन्य लोगों द्वारा अधिक सहज और कम औपचारिक तरीके से विकसित किया गया था। बहुत समय पहले), उन्होंने मौलिक रूप से भिन्न संकेतन चुने। न्यूटन ने \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\) को चुना, जबकि लाइबनिज ने \(\frac{dy}{dx}\) को चुना। अब तक सब ठीक है। लेकिन व्युत्पन्न की अवधारणा का अर्थ बहुत कम है यदि हमारे पास शक्तिशाली व्युत्पन्न प्रमेय नहीं हैं।

अपने संबंधित नोटेशन का उपयोग करते हुए, उन दोनों को बुनियादी भेदभाव प्रमेयों को साबित करने में थोड़ी परेशानी हुई, जैसे कि रैखिकता और उत्पाद नियम, लेकिन न्यूटन ने औपचारिक रूप से चेन नियम को बताने की आवश्यकता नहीं देखी, संभवतः क्योंकि उनके नोटेशन ने इसके लिए खुद को उधार नहीं दिया था , जबकि लाइबनिज़ संकेतन के लिए, श्रृंखला नियम स्वयं को लगभग "दुह" नियम की तरह दिखाता है। अधिक सटीक होने के लिए, मान लें कि \(y=y\left( x \right) \) एक फ़ंक्शन है और \(u=u\left( x \right) \) एक अन्य फ़ंक्शन है।

यह पूछने के लिए एक स्वाभाविक प्रश्न है कि क्या मैं \(y\left( u\left( x \right) \right) \) रचना के व्युत्पन्न की गणना \(y\) और \(u\) के डेरिवेटिव के आधार पर आसान तरीके से कर सकता हूं। इस प्रश्न का उत्तर श्रृंखला नियम है। लाइबनिज संकेतन का प्रयोग करने का नियम है

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

यह लगभग ऐसा है जैसे आप \(du\) को रद्द कर सकते हैं जैसे:

लेकिन यह बिल्कुल वैसा नहीं है। लेकिन यह लाइबनिज संकेतन की सुंदरता है। इसकी एक जोरदार सहज अपील है (और "रद्द करना" \(du\) लगभग एक वास्तविकता है, यह केवल इतना है कि यह \(\Delta u\) स्तर पर किया जाता है और इसमें सीमाएं शामिल होती हैं), लेकिन फिर भी आपको यह समझने की आवश्यकता है कि लीबनिज़ क्या कह रहा था नियम। वह कहता है:

"यौगिक फलन \(y\left( u\left( x \right) \right) \) का व्युत्पत्ति \(y\) के व्युत्पन्न के समान है जो बिंदु \(u\left( x \right) \) पर \(u\) के व्युत्पन्न से गुणा \(x\) पर है"

न्यूटन के संकेतन का उपयोग करने वाले श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप मिलता है:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

काफी कम सुंदर, है ना? लेकिन लगता है क्या, न्यूटन का चेन नियम बिल्कुल वैसा ही कहता है

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

हालांकि, इस बाद के संकेतन में आग लग गई और आधुनिक कैलकुलस के तेजी से विकास में काफी मदद मिली, जबकि न्यूटन का रूप कम प्रिय था। भले ही प्रमेय बिल्कुल वही कह रहे थे, एक सुनहरा था और दूसरा इतना नहीं। क्यों? नोटेशन मेरे दोस्त।