नमूना वितरण उपकरण के लिए इस सामान्य वितरण संभाव्यता कैलकुलेटर के बारे में अधिक

जब सामान्य रूप से वितरित चर \(X_1, X_2, ...., X_n\) का एक अनुक्रम औसतन होता है, तो हमें नमूना माध्य मिलता है

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

चूंकि सामान्य चर का कोई भी रैखिक संयोजन भी सामान्य है, इसलिए नमूना का मतलब \(\bar X\) भी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है (यह मानते हुए कि प्रत्येक \(X_i\) सामान्य रूप से वितरित किया जाता है)।\(\bar X\) का वितरण आमतौर पर के रूप में संदर्भित किया जाता है अफ़स्या ।

एक अन्य नाम जिसे आप सामान्य वितरण के बारे में संदर्भित करेंगे, वह है गाऊसी वितरण, या घंटी के आकार का वितरण।

आप नमूना वितरण की गणना कैसे करते हैं?

यह मानते हुए कि \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), सभी \(i = 1, 2, 3, ...n\)के लिए, फिर \(\bar X\)को सामान्य रूप से एक ही सामान्य माध्य \(\mu\)के साथ वितरित किया जाता है, लेकिन \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)के विचरण के साथ।

यह हमें बताता है कि \(\bar X\)भी \(\mu \)पर केंद्रित है, लेकिन इसका फैलाव प्रत्येक व्यक्ति \( X_i \)के लिए उससे कम है।वास्तव में, नमूना आकार जितना बड़ा होगा, \(\bar X\)का फैलाव उतना ही छोटा होगा।

सामान्य वितरण सूत्र

सामान्य वितरण सूत्र एक अपेक्षाकृत कठिन है, यह वह नहीं है जिसे आप मैन्युअल रूप से संभाल रहे होंगे।सूत्र है:

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

नमूना सामान्य वितरण सूत्र

नमूनाकरण वितरण के साथ काम करते समय कुंजी इस तथ्य का उपयोग करना है कि यदि \(\mu\) आबादी का मतलब है और \(\sigma\) आबादी का मानक विचलन है, तो फिर

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

एक मानक सामान्य वितरण है।यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि हम इसका उपयोग सभी नमूने वितरण को कम करने के लिए कर सकते हैं तमहमहमक ।

सरल शब्दों में, आप जो कर रहे हैं वह किसी भी सामान्य वितरण संभावना की गणना को कम कर रहा है जेड-स ।

जेड-स्कोर के साथ काम करने के लिए सभी सामान्य वितरण गणनाओं को कम करके, आपको केवल एक मानक सामान्य तालिका की आवश्यकता है, जहां जेड-वैल्यू, या इस कैलकुलेटर या एक्सेल जैसा उपकरण ढूंढना है।

नमूना वितरण का मतलब क्या है

नमूना वितरण का मतलब, \(\mu(\bar X)\), वितरण \(\mu\)के अंतर्निहित माध्य के समान है।

नमूना वितरण का मानक विचलन

माध्य के मामले के विपरीत, नमूना साधनों के मानक विचलन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

सामान्य वितरण से संबंधित कैलकुलेटर

यदि आप एक एकल अवलोकन \(X\)के लिए सामान्य संभावनाओं की गणना करना चाहते हैं, तो आप इस कैलकुलेटर का उपयोग \(n=1\)के साथ कर सकते हैं, या आप हमारे नियमित का उपयोग कर सकते हैं तमाम ।

अक्सर कई बार आप रिवर्स प्रक्रिया में रुचि रखते हैं: एक संभावना को देखते हुए, आप स्कोर को ढूंढना चाहते हैं जैसे कि उस स्कोर के अधिकार की संभावना सराय

इसके अलावा, यदि ग्राफिकल विज़ुअलाइज़ेशन आपको क्या चाहिए, तो आप सीधे हमारी कोशिश कर सकते हैं तमहमतस ।

इसके अलावा, यह आकलन करने के लिए कि क्या कोई नमूना एक वास्तविक सामान्य वितरण से आता है, आप एक का उपयोग कर सकते हैं तमाम , और प्राप्त पैटर्न को देखें।यदि यह काफी रैखिक दिखता है, तो यह इंगित करता है कि नमूना संभावना एक सामान्य रूप से वितरित प्रोप्रेशन से आया है।

उदाहरण:

प्रश्न : एक सामान्य वितरण पर विचार करें जहां जनसंख्या का मतलब 12 है, और जनसंख्या मानक विचलन 3.4 है।मान लें कि आप आकार n = 16 के नमूने लेते हैं। नमूना के लिए अंतराल में होने का क्या मतलब है (11.3, 12.4)?

समाधान:

निम्नलिखित जनसंख्या का मतलब है \((\mu)\), जनसंख्या मानक विचलन \((\sigma)\)और नमूना आकार \((n)\)प्रदान किया गया:

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

हमें \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\)की गणना करने की आवश्यकता है।गणना करने के लिए आवश्यक Z- मानों की आवश्यकता है:

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

सामान्य वितरण के गुणों का उपयोग करते हुए, यदि \(X ~ N(\mu, \sigma)\), तो चर \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)और \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)में एक मानक सामान्य वितरण है।इसलिए, संभावना के रूप में गणना की जाती है:

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

इसलिए, प्रदान की गई जानकारी के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\)।