बहुपद लंबे विभाजन कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपके साथ दो दिए गए बहुपद के बीच एक लंबा विभाजन करने की प्रक्रिया के साथ सहायता करता है।यह अंत करने के लिए, आपको दो वैध बहुपद अभिव्यक्तियाँ प्रदान करने की आवश्यकता है।ये बहुपद शायद पहले से ही सरल हो गए हैं या नहीं, और कैलकुलेटर उन्हें सरल बना देगा यदि उन्हें इसकी आवश्यकता है।

कब तंग आपको दो बहुपद प्रदान करने की आवश्यकता है, एक जिसे आप विभाजित करेंगे, जिसे लाभांश कहा जाता है, और दूसरा एक विभाजक है।

एक बार जब आप दो मान्य प्रदान करते हैं तंग , अगला कदम "गणना" बटन पर क्लिक करना होगा, जो प्रदान किए गए बहुपद के बीच वांछित लंबे विभाजन के लिए आवश्यक सभी संबंधित गणना को दिखाएगा।

का उपयोग करके बहुपद का एक विभाजन संचालित करने की प्रक्रिया अफ़सद एक अपेक्षाकृत सीधी विधि है, लेकिन जिसके लिए एक बहुत ही संगठित दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, इसलिए खो जाने के लिए नहीं।आमतौर पर, यह संबंधित चरणों को दिखाने के लिए एक सारणीबद्ध दृष्टिकोण का उपयोग करके सबसे अच्छा काम करता है।

एक सरल दृष्टिकोण के साथ उपयोग किया जाता है अफ़रप , लेकिन यह केवल तब लागू होता है जब भाजक के पास डिग्री एक होता है, इसलिए इसकी अधिक सीमित पहुंच होती है

एक बहुपद क्या है?

एक बहुपद एक प्रकार की सरल अभिव्यक्ति है जो कि एक निश्चित चर x (या जो भी चर नाम चुना जाता है) की पूर्णांक शक्तियों को घटाता है, संभवतः स्थिरांक द्वारा गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति \(p(x) = 2x^2 + x + 1\) शब्दों का एक संयोजन है \(2x^2\), \(x\) और \(1\) X की शक्तियों के परिवर्धन के साथ (नोटिस करें कि 1 x की एक शक्ति है, जैसा कि\(x^0 = 1\)।

दूसरी ओर, \(f(x) = 2x^2 + \sin(x) + 1\) एक बहुपद नहीं है, क्योंकि शब्द \(\sin(x)\) x की शक्ति नहीं है।

बहुपद संचालन

बहुपद, संख्याओं की तरह, के साथ संचालित किया जा सकता है अफ़स्या ।परिवर्धन और घटाव करना सरल है, बहुत सहज तरीके से।उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो बहुपद हैं, तो \(p(x) = 2x+1\) और \(q(x) = x^3 + 2x+ 3\)

\[p(x) + q(x) = 2x + 1 + x^3 + 2x+ 3 = x^3 + 4x + 4\]

घटाव के लिए, आप बहुपद की संबंधित शर्तों को भी घटाते हैं जो घटाया जा रहा है।उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो बहुपद हैं, \(p(x) = 2x+1\) और \(q(x) = x^3 + 2x+ 3\), तो, घटाकर की तरह किया जाता है

\[p(x) - q(x) = 2x + 1 - (x^3 + 2x+ 3) = 2x + 1 - x^3 - 2x - 3) = -x^3 -2\]

गुणा अधिक जटिल है, क्योंकि आपको वितरण की संपत्ति का उपयोग करके-मल्टीप्ली शर्तों को पार करना होगा:

\[p(x) \cdot q(x) = (2x + 1) \cdot (x^3 + 2x+ 3) = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 + 1\cdot x^3 + 1\cdot1 2x+ 1\cdot 3 = 2x^4 +x^3+4x^2+8x+3\]

विभाजन थोड़ा अधिक जटिल है, क्योंकि इसमें यह विचार शामिल था कि एक बहुपद विभाजित नहीं हो सकता है बिलmun सही सही एक और बहुपद।गणितीय रूप से, जब हमारे पास दो बहुपद होते हैं \(p(x)\) और \(s(x)\)\(r(x)\) (वे दोनों बहुपद), जिसमें वह संपत्ति है जो \(p(x)= q(x)\cdot s(x) + r(x)\), इस शर्त के साथ है कि बहुपद की t डिगthirी \(r(x)\) \(s(x)\) की डिग्री से कम है।इसे आमतौर पर कहा जाता है यूकmun अपघटन अपघटन ।

लंबी डिवीजन विधि

तो, लॉन्ग डिवीजन विधि दो बहुपदों के साथ शुरू करने का एक व्यवस्थित तरीका है जिसे हम विभाजित करना चाहते हैंएक तरीका है कि

\[p(x)= q(x)\cdot s(x) + r(x)\]

यह एल्गोरिथ्म बेहद उपयोगी है, और यद्यपि समस्या दिखने में सरल दिखाई देती है, यह एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का उपयोग नहीं करने पर खो जाना मुश्किल नहीं है, जो आवश्यक भागफल और शेष में पहुंचने की गारंटी है।

एक लंबे डिवीजन करने के लिए क्या कदम हैं?

• Letsunt 1: दो बहुपद p (x) और s (x) की पहचान करें जिसे आप विभाजित करना चाहते हैं और P (x) को लाभांश के रूप में और S (x) को विभाजक के रूप में पहचानना चाहते हैं
• Therur the: S (x) की डिग्री के खिलाफ लाभांश P (x) की डिग्री की जाँच करें।यदि S (x) की डिग्री P (x) की डिग्री से अधिक है, तो हमारे पास है कि शेष लाभांश P (x) है, और भागफल शून्य है: Q (x) = 0, और आप कर रहे हैं
• Theirण 3: इस मामले में, हम मानते हैं कि लाभांश P (x) की डिग्री डिवीजन S (x) की डिग्री से अधिक या बराबर है, अन्यथा, हम चरण 2 में रुक गए होंगे
• Reyrur 4: हमें एक अस्थायी शेष खोजने की एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया का संचालन करने की आवश्यकता है, जब तक कि हम शेष नहीं पहुंचे हैं, जो कि एस (एक्स) की डिग्री से कम है
• च ५: ५: अस्थायी या अंतरिम शेष को हर बार अपडेट किया जाता है, जो पहले वर्तमान अस्थायी शेष और भाजक s (x) के उच्चतम शब्द के बीच अनुपात को खोजता है।यह अनुपात (जो एक पावर टर्म है) तब S (x) गुणा करता है, और इस गुणन का परिणाम वर्तमान अस्थायी शेष से घटाया जाता है, जिससे एक अद्यतन शेष के लिए अग्रणी होता है
• च viry: 6: यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि शेष के पास एक डिग्री नहीं है जो S (x) की तुलना में कम है।पुनरावृत्ति के प्रत्येक चरण में, अस्थायी शेष की डिग्री कम से कम 1 से कम हो जाती है, इसलिए प्रक्रिया को समाप्त करने की गारंटी है

अंत में, की प्रक्रिया अँगुला गुणन की गणना करने के लिए कम किया जाता है, बहुपदों के योग हैं, जो कि संख्याओं के साथ बहुत अधिक होता है।बहुपद के लिए लंबी डिवीजन विधि उस तरीके का विस्तार है जिस तरह से हम संख्याओं को बहुपद में विभाजित करते हैं।

एक बहुपद समीकरण की जड़ों को खोजने के साथ लॉन्ग डिवीजन कैसे जुड़ा हुआ है

मान लें कि P (x) वह लाभांश है जिसे आप विभाजित करना चाहते हैं, और S (x) विभाजक है।लॉन्ग डिवीजन विधि के अनुसार, आप एक भागफल q (x) और एक शेष r (x) खोजने में सक्षम होंगे ताकि:

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x) \]

लेकिन कभी -कभी, ऐसा होता है कि शेष r (x) = 0 है, और उस स्थिति में हम कहते हैं कि S (x) p (x) को विभाजित करता है (या यह p (x) को बिल्कुल विभाजित करता है)।तो, जब r (x) = 0

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) \]

यह इंगित करता है कि p (x) = 0 की जड़ों को खोजने के लिए, हम हल q (x) = 0 और s (x) = 0, अलग से हल कर सकते हैं, जो हल करने के लिए सरल समीकरण हैं।

इस लंबे डिवीजन कैलकुलेटर के लाभ

जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है, लॉन्ग डिवीजन बहुत कठिन नहीं है, लेकिन इसके लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।एक का उपयोग करने का एक बड़ा लाभ तंग इस तरह एक यह है कि आपको दिखाए गए प्रक्रिया के सभी चरण मिलेंगे

यह जानना आवश्यक नहीं हो सकता है कि खुद को कैसे संचालित किया जाए, लेकिन यह कैलकुलेटर आपको यह देखने की अनुमति देता है कि यह कैसे किया जाता है, प्रत्येक चरण के बारे में समझाते हुए, शेष और भागफल को प्राप्त करने के रहस्य को हटाकर, एक डिजिटल कैलकुलेटर का कहना है, जो देगा, जो देगाआप कदम दिखाए बिना जवाब देते हैं।

सभी कामों को दिखाने वाले चरणों के साथ एक लंबा डिवीजन कैलकुलेटर यह सुनिश्चित करता है कि आपको गणना के साथ क्या हो रहा है, इसका एक स्पष्ट विचार है।

उदाहरण: बहुपद के विभाजन की गणना

निम्नलिखित बहुपद के विभाजन की गणना करें: \(p(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\) और \(s(x) = x+3\)।

तमाम: निम्नलिखित बहुपद प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\), जिसे बहुपद \(\displaystyle s(x) = x+3\) द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है।

निरीक्षण करें कि लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 3\) है, जबकि विभाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}x^3\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = x+3\) \(\displaystyle x\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(x\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^3}{ x} = \frac{1}{3}x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2 \cdot \left(x+3\right) = \frac{1}{3}x^3+x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Therur the: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -x^2+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle -1x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ x} = -x\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -x \cdot \left(x+3\right) = -x^2-3x\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Theirण 3: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle \frac{17}{4}x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{17}{4}x\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ \frac{17}{4}x}{ x} = \frac{17}{4}\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{17}{4} \cdot \left(x+3\right) = \frac{17}{4}x+\frac{51}{4}\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle +\frac{17}{4}&\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{51}{4}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{163}{12}\\[0.8em] \end{array}\]

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि वर्तमान शेष की डिग्री \(r(x) = -\frac{163}{12}\) भाजक की डिग्री से कम है \(s(x) = x+3\)।

निष्कर्ष: Therefore, we conclude that for the given dividend \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\) and divisor \(\displaystyle s(x) = x+3\), we get that the quotient is \(\displaystyle q(x) = \frac{1}{3}x^2-x+\frac{17}{4}\) and the remainder is \(\displaystyle r(x) = -\frac{163}{12}\), and that