बहुपद कारक कैलकुलेटर

चरणों के साथ यह फैक्टरिंग कैलकुलेटर आपको कारक को पूरी तरह से दिए गए बहुपद को खोजने की अनुमति देगा जो आप प्रदान करते हैं, प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाते हैं।

आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली बहुपद एक वैध होने की आवश्यकता है, कुछ सरल जैसे कि P (x) = x^3 - x + 1, या यह अधिक जटिल हो सकता है, गुणांक के साथ जो अंश या कोई वैध संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं।

एक बार जब आप एक वैध बहुपद प्रदान करते हैं, तो आप "गणना" बटन पर क्लिक करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और आपको पूरी तरह से प्रदान किए गए बहुपद, एक प्रक्रिया के लिए आवश्यक प्रक्रिया के सभी चरण-दर-चरण रन के साथ प्रदान किया जाएगा, जो उचित रूप से हो सकती हैश्रमसाध्य हाथ से किया जाता है, खासकर जब जब बहुपद की t डिगthirी ऊंचा है।

बिल्कुल भी कोई तरीका नहीं है कि यह जानने के लिए कि कैसे कारक बहुपद को कैसे जानने के महत्व को खत्म करने के लिए, क्योंकि वे बीजगणित, कैलकुलस, वित्त और इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोगों के केंद्र में हैं।

कैसे कारक बहुपद?

द्विघात बहुपद को छोड़कर, फैक्टरिंग बहुपद आसान नहीं है, और यह संभावित रूप से हाथ से किए जाने पर कठिनाइयों को ला सकता है।ऐसे कई चरण हैं जिन्हें आपको कम से कम कुछ कारकों को खोजने के अपने परिवर्तनों में सुधार करना चाहिए

कारक कैलकुलेटर के चरण

• Letsunt 1: जिस अभिव्यक्ति के साथ आप काम कर रहे हैं, उसे पहचानें, जितना संभव हो उतना सरल करें, और सुनिश्चित करें कि यह एक बहुपद है।यदि यह एक बहुपद नहीं है, तो पालन करने के लिए कोई निश्चित दृष्टिकोण नहीं है
• Therur the: एक बार जब आपके पास एक सरलीकृत बहुपद हो जाता है, तो इसकी डिग्री पर ध्यान दें।यदि यह द्विघात है (डिग्री 2), तो आप उपयोग कर सकते हैं तमाम इसके कारकों को खोजने के लिए
• Theirण 3: यदि बहुपद की डिग्री 3 या उससे अधिक है, तो निरंतर गुणांक के लिए जांचें, यदि यह शून्य है, तो इसका मतलब है कि आप एक्स को फैक्टर कर सकते हैं, और कारक होने के लिए बने हुए बहुपद की डिग्री को कम कर सकते हैं
• Reyrur 4: चरण 4 को पूरा करने के बाद, आपको तर्कसंगत शून्य प्रमेय का उपयोग करके सरल रूट उम्मीदवारों के लिए परीक्षण करना होगा।यदि आपको कोई तर्कसंगत जड़ मिलती है, तो वे फॉर्म के कारक हैं (x - a) (जहां A एक तर्कसंगत जड़ है), और फिर आप इन कारकों से बहुपद को विभाजित करते हैं, इसलिए आप बहुपद की डिग्री को कम करते हैं जिसे आपको कारक की आवश्यकता होती है
• च ५: ५: पिछले चरणों को दोहराएं जब तक कि आपके पास या तो एक पूर्ण कारक न हो, या आप आगे की कमी नहीं कर सकते

एक बात है कि हालांकि तकनीकी है, इसका उल्लेख करने की आवश्यकता है: फैक्टरिंग एक पर किया जाता है खेत , जो एक प्रकार का बीजीय संरचना है।आम तौर पर, हम जिस क्षेत्र का उपयोग करते हैं, वह वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है।

यदि हम वास्तविक संख्या फ़ील्ड के लिए कारक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो सभी कारक फॉर्म \(x - a\) के रूप में नहीं होंगे, क्योंकि हमारे पास द्विघात कारक भी हो सकते हैं, जो वास्तविक क्षेत्र पर अप्रासंगिक हैं।उदाहरण के लिए, \(x^2 + x + 10\) वास्तविक रैखिक कारकों में कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि तमाम \(x^2 + x + 10 = 0\) की जटिल जड़ें हैं।

इसलिए चरण 3 में, जब एक द्विघात फ़ंक्शन से निपटते हैं, तो कारक स्वयं हो सकता है, यदि इसकी जड़ें जटिल हैं।

कारक और जड़ें

फैक्टरिंग गणना प्रक्रिया का उपयोग करने का तरीका अनिवार्य रूप से या तो विभिन्न प्रकार के फैक्टरिंग का प्रयास करना है जो कुछ समरूपता का शोषण कर रहा है या जड़ों को खोजकर।समरूपता को खोजना एक निश्चित बात नहीं है, क्योंकि यह वास्तव में विशिष्ट नियमितताओं पर निर्भर करता है जो पाए जा सकते हैं, जो सभी बहुपदों के लिए सामान्य नहीं हैं।

निरीक्षण द्वारा या समूहन द्वारा फैक्टरिंग आमतौर पर प्रयास किया जाता है, लेकिन उन विशिष्ट पैटर्न की आवश्यकता होती है जो हमेशा नहीं होते हैं।यह एक बहुपद का निरीक्षण करने के लिए इसके लायक है कि क्या कुछ प्रत्यक्ष किया जा सकता है, लेकिन जड़ों को खोजकर फैक्टरिंग का दृष्टिकोण अधिक व्यवस्थित है, और निरीक्षण विधियों की तुलना में अधिक मामलों में काम करेगा।

बचने के लिए सामान्य गलतियाँ

यह समझना महत्वपूर्ण है कि कारक एक बहुपद कसकर अपनी जड़ को खोजने से संबंधित है, जो सभी में शामिल है तमाम ।इसलिए, यह जानने के लिए कि कारक कैसे एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए जानने की आपकी क्षमता पर निर्भर करता है।

जब तक आप एक द्विघात कार्य के साथ काम नहीं कर रहे हैं, तब तक कोई सूत्र नहीं होगा।उच्च डिग्री के लिए, आपके पास अलग -अलग विकल्प हैं: आप ऊपर वर्णित व्यवस्थित प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं, या आप निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग करने का अनुमान लगाने और प्रयास करने का प्रयास कर सकते हैं, या अन्य विकल्पों का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं जैसे अफ़सरी ।

उदाहरण: बहुपद कारक

कारक पूरी तरह से: \(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)

तमाम: निम्नलिखित बहुपद प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\), जिसे वास्तविक संख्याओं पर पूरी तरह से फैक्टर करने की आवश्यकता है।

पraurauraurauray: प्रदान की गई बहुपद अभिव्यक्ति अप्रासंगिक है, इसलिए सरल बनाने के लिए कुछ भी नहीं है।हम इसे कारक करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

देखें कि दिए गए बहुपद की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 5\) है, इसका प्रमुख गुणांक \(\displaystyle a_{5} = 1\) है और इसका निरंतर गुणांक \(\displaystyle a_0 = 0\) है।

सराय : चूंकि एक गैर-शून्य गुणांक के साथ पहला कार्यकाल \(p(x)\) में \(x\) है, हम इस शब्द को प्राप्त करने के लिए कारक कर सकते हैं

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

लेकिन कोष्ठक में शब्द की डिग्री है जो 2 से अधिक है, इसलिए इसे कारक करने के लिए कोई प्राथमिक सूत्र नहीं है।हमें संभावित तर्कसंगत जड़ों के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है।

अगला कार्य पूर्णांक संख्याओं को खोजने के लिए है जो अग्रणी गुणांक \(a_{4}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों को बहुपद समीकरण के शून्य होने के लिए बनाने के लिए किया जाएगा।

▹ \(a_{4} = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

▹ \(a_0 = 2\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2\)।

इसलिए, निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करना \(a_0 = 2\) प्रमुख गुणांक के प्रत्येक विभक्त द्वारा \(a_{4} = 1\), हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को जड़ें पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

अँगुला : चूंकि हमारे पास तर्कसंगत उम्मीदवारों के बीच पर्याप्त जड़ें नहीं हैं, इसलिए हम तर्कसंगत जड़ों से प्राप्त कारकों के उत्पाद से \(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) को विभाजित करेंगे, जो \(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \) है।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) \(\displaystyle x^4\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\) \(\displaystyle x^2\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(x^2\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Therur the: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle x^2-3x+2\) \(\displaystyle x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x^2\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x^2\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

इसलिए, भागफल \(\displaystyle q(x) = x^2+1\) है, और शेष है \(\displaystyle r(x) = 0\)।

इसलिए विभाजित करने के बाद, हम कारक के साथ आगे बढ़े हैं

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

लेकिन अब, चूंकि भागफल मिला \(\displaystyle x^2+1\) द्विघात है, हम इसकी जड़ें देख सकते हैं कि क्या हम इसे वास्तविक क्षेत्र में कारक कर सकते हैं।

हमें निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है \(\displaystyle x^2+1=0\)।

फॉर्म के एक द्विघात समीकरण के लिए \(a x^2 + bx + c = 0\), जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, वह है \(\displaystyle x^2+1 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

सबसे पहले, हम जड़ों की प्रकृति का आकलन करने के लिए भेदभाव की गणना करेंगे।भेदभाव की गणना की जाती है:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण लगता है \(\Delta = \displaystyle -4 < 0\), जो नकारात्मक है, हम जानते हैं कि दिए गए समीकरण में दो अलग -अलग संयुग्मन जटिल जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

इसलिए अंतिम द्विघात भाग की जड़ों को खोजने के बाद, हम दो जटिल जड़ें पाते हैं, इसलिए हम वास्तविक क्षेत्र में \(x^2+1\) शब्द को कारक नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम प्रक्रिया को \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\) के साथ समाप्त करते हैं।

तिहाई : इसलिए, अंतिम कारक जो हम प्राप्त करते हैं वह है:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

कारक प्रक्रिया का उपयोग करके पाए गए जड़ें \(0\), \(1\), \(2\), \(-i\) और \(i\) हैं।

उदाहरण: कारक गणना

निम्नलिखित के कारक खोजें: \(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)

तमाम: अब हमें कारक की आवश्यकता है: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\)।

पraurauraurauray: प्रदान की गई बहुपद अभिव्यक्ति कम नहीं हो सकती है, और फिर हम इसे कारक के लिए सीधे आगे बढ़ा सकते हैं।

सराय : चूंकि एक गैर-शून्य गुणांक के साथ पहला कार्यकाल \(p(x)\) में \(x\) है, हम इस शब्द को प्राप्त करने के लिए कारक कर सकते हैं

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

लेकिन कोष्ठक में शब्द की डिग्री है जो 2 से अधिक है, इसलिए इसे कारक करने के लिए कोई प्राथमिक सूत्र नहीं है।हमें संभावित तर्कसंगत जड़ों के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है।

अगला कार्य पूर्णांक संख्याओं को खोजने के लिए है जो अग्रणी गुणांक \(a_{3}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों को बहुपद समीकरण के शून्य होने के लिए बनाने के लिए किया जाएगा।

▹ \(a_{3} = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

▹ \(a_0 = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

इसलिए, निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करना \(a_0 = 1\) प्रमुख गुणांक के प्रत्येक विभक्त द्वारा \(a_{3} = 1\), हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को जड़ें पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

लेकिन चूंकि हमें निरीक्षण द्वारा कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं मिली हैं, इसलिए हम प्राथमिक तरीकों का उपयोग करके कारक के साथ आगे नहीं बढ़ सकते हैं, इसलिए प्रक्रिया यहां रुक जाती है।

तिहाई : इसलिए, इस मामले में, हमें मिलता है:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

इसलिए, कारक प्रक्रिया का उपयोग करके पाया गया एकमात्र रूट \(0\) है।

उदाहरण: फैक्टरिंग गणना

पूरी तरह से कारक \( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\)।इस बहुपद की जड़ें क्या हैं?

तमाम: इस उदाहरण के लिए, हमारे पास \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) है, और हम इसकी जड़ों की गणना करने के लिए उपकरण के रूप में कारक प्रक्रिया का उपयोग करेंगे।

पraurauraurauray: प्रदान की गई बहुपद अभिव्यक्ति अप्रासंगिक है, इसलिए सरल बनाने के लिए कुछ भी नहीं है।हम इसे कारक करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हमें पहले सरल तर्कसंगत जड़ों को खोजने का प्रयास करने की आवश्यकता है, जो तर्कसंगत जड़ प्रमेय की मदद से प्राप्त की जाती है।

अगला कार्य पूर्णांक संख्याओं को खोजने के लिए है जो अग्रणी गुणांक \(a_{3}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों को बहुपद समीकरण के शून्य होने के लिए बनाने के लिए किया जाएगा।

▹ \(a_{3} = 1\) के पूर्णांक डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

▹ \(a_0 = -1\) के पूर्णांक डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

इसलिए, हम निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करते हैं \(a_0 = -1\) प्रत्येक और प्रत्येक डिवाइडर द्वारा अग्रणी गुणांक \(a_{3} = 1\) द्वारा, इसलिए हम तर्कसंगत उम्मीदवारों की एक सूची पा सकते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

तंग : हमारे पास तर्कसंगत शून्य प्रमेय के साथ पाए गए उम्मीदवारों से पर्याप्त तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं, इसलिए हम तर्कसंगत रूट उम्मीदवारों से प्राप्त इन तर्कसंगत कारकों के उत्पाद द्वारा \(\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) को विभाजित करेंगे, जो \(\displaystyle \left(x-1\right) \) की ओर जाता है।।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) \(\displaystyle x^3\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = x-1\) \(\displaystyle x\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(x\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Therur the: अब, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Theirण 3: अब, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle x-1\) \(\displaystyle x\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

इसलिए, डिवीजन कोटिएंट से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\), शेष के साथ \(\displaystyle r(x) = 0\)।

तो, हम मिलेंगे:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

लेकिन समीकरण \(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\) द्विघात है, इसलिए जड़ों की सीधे गणना की जा सकती है।

तो, हमें जड़ों की प्रकृति के बारे में जानने के लिए भेदभावपूर्ण की गणना करने की आवश्यकता है।भेदभाव करने का सूत्र है:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

लेकिन हम देखते हैं कि भेदभावपूर्ण \(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\) है, जो सकारात्मक है, और इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण में दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं।

अब, हम इन मूल्यों को प्राप्त करने के लिए प्लग करते हैं:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

उपरोक्त द्विघात समीकरण के समाधान के साथ, जिसमें दो वास्तविक जड़ें हैं, हम मूल बहुपद को आगे बढ़ाते हैं: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\)।

तिहाई : इसलिए, इस मामले में हम एक पूर्ण सरलीकरण प्राप्त करते हैं:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

उपरोक्त कारक के आधार पर, जड़ें मिली हैं: \(1\), \(\frac{1}{2}\) और \(2\)।

अधिक बहुपद कैलकुलेटर

बहुत सी चीजें हैं जो आप बहुपद के साथ कर सकते हैं, आप कर सकते हैं अफ़मण , आप उनके अंतिम व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं, लेकिन वे मुख्य कार्य के लिए सरल, गौण कार्य हैं एक बहुपद फैकturिंग और इसकी जड़ों को ढूंढना।

उच्च डिग्री के लिए सामान्य समस्या जटिल है, और आमतौर पर हम खुद को कम करते हैं तमाम , और संभावित रूप से तंग इसमें कुछ समरूपताएं हैं जो एक आसान फैक्टरिंग के लिए अनुमति देती हैं।