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तर्कसंगत शून्य प्रमेय कैलकुलेटर

सराय: इस तर्कसंगत शून्य प्रमेय कैलकुलेटर का उपयोग किसी भी बहुपद समीकरण के लिए तर्कसंगत जड़ों को खोजने की कोशिश करने के लिए करें, जो सभी चरणों को दिखाते हैं।कृपया नीचे दिए गए फॉर्म बॉक्स में एक बहुपद समीकरण टाइप करें।

एक बहुपद समीकरण दर्ज करें (Ex: 2x^3 + 5x + 14 = 0, आदि)

तर्कसंगत शून्य प्रमेय पर अधिक

सभी चरणों को दिखाते हुए, आपके द्वारा प्रदान किए गए किसी भी वैध बहुपद समीकरण के लिए तर्कसंगत शून्य प्रमेय को लागू करने के लिए इस कैलकुलेटर का उपयोग करें।आपको बस एक मान्य बहुपद समीकरण प्रदान करने की आवश्यकता है, जैसे कि 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, या शायद एक समीकरण जो पूरी तरह से x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3 की तरह सरल नहीं है,जैसा कि कैलकुलेटर इसके सरलीकरण का ध्यान रखेगा।

जब आप बहुपद समीकरण टाइप कर रहे हैं, जिसके लिए आप तर्कसंगत जड़ों को ढूंढना चाहते हैं, तो आपको "गणना" पर क्लिक करना होगा और प्रक्रिया के सभी चरण आपके लिए प्रदान किए जाएंगे।बटन, और आपको गणना के सभी चरणों के साथ प्रदान किया जाएगा।

निरीक्षण करें कि तर्कसंगत शून्य प्रमेय आपको तर्कसंगतों का परीक्षण करने की अनुमति देता है अयस्क समाधान, लेकिन वे जरूरी नहीं कि जड़ें।आप सिर्फ संभावित उम्मीदवारों का परीक्षण कर रहे हैं।

तर्कसंगत शून्य प्रमेय एक बहुपद समीकरण की सभी जड़ों को खोजने के लिए एक उपकरण नहीं है।यह दावा करने के लिए क्या है कि अगर वहाँ है सराय इन बहुपद समीकरण के लिए, फिर यह उम्मीदवारों के इस प्रस्तावित सेट में से एक होना चाहिए, कुछ 'शॉर्ट-लिस्ट' जैसा कुछ।

तर्कसंगत शून्य प्रमेय कैलकुलेटर

तर्कसंगत शून्य प्रमेय का उपयोग कैसे करें?

तर्कसंगत शून्य प्रमेय को एक बहुपद समीकरण मिलता है, और यह सभी शब्दों को समीकरण के एक तरफ रखता है।हम तब गुणांक के पूर्णांक दिव्य को पाते हैं जो शब्द को उच्चतम शक्ति के साथ गुणा करता है और हम उन्हें \(\{b_1, ...,, b_i\}\) कहते हैं, और लगातार गुणांक के पूर्णांक दिव्य को उच्चतम शक्ति के साथ शब्द भी पाते हैं और हम उन्हें << XYZB कहते हैं>>

फिर, हम उम्मीदवारों के रूप में \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) का उपयोग करके संभावित जड़ों को पाते हैं, यह है, उनका निर्माण पहले पाए गए पूर्णांक विभाजकों के विभाजन से किया जाता है

तर्कसंगत शून्य प्रमेय का उपयोग करते हुए क्या कदम हैं?

  • S स : उस बहुपद समीकरण को पहचानें, जिसके साथ आप काम करना चाहते हैं, और यदि आवश्यक हो तो इसे सरल बनाएं, ताकि यह फॉर्म f (x) = a₀ + a₁x + ... + a में हो एन x^n+ c
  • Rayrण 2 : सभी पूर्णांक (दोनों सकारात्मक और नकारात्मक) दिव्यांगों को खोजें एन
  • Rayrण 3 : फिर आपको A ₀ के हर एक विभाजक की गणना करने और इसे हर एक विभाजक द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है एन ।यह आपके तर्कसंगत उम्मीदवारों की सूची है
  • Rayrण 4 : आपको उपरोक्त उम्मीदवारों की सूची में प्रत्येक तत्व से गुजरने की आवश्यकता है, और जांचें कि वे दिए गए बहुपद समीकरण की जड़ें हैं या नहीं

फिर, यह जरूरी नहीं कि दिए गए बहुपद समीकरण की सभी जड़ों को खोजें।यदि सभी उम्मीदवार की एक सूची को तर्कसंगत रूप से खोजने के लिए है, जिसमें तर्कसंगत जड़ें हैं यदि तर्कसंगत जड़ें हैं।लेकिन कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं हो सकती हैं।

ऑर्डर 2 के एक बहुपद समीकरण के विशेष मामले के लिए, आप सीधे इसका उपयोग कर सकते हैं तमाम , जो आपको सभी कदम प्रदान करेगा।

सभी संभव तर्कसंगत शून्य खोजें

तो, यह कैलकुलेटर क्या करता है, बस, सभी संभावित तर्कसंगत शून्य की सूची का पता लगाएं, जो जड़ों को खोजने के लिए एक महान शुरुआती बिंदु है, क्योंकि तब आप समीकरण को हल करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करते हैं।

एक बहुपद समारोह के शून्य खोजना

एक बहुपद कार्य के शून्य खोजना एक मुश्किल काम है, खासकर जब के लिए बहुपद बड़ी है।सामान्य तौर पर, आदेश n के एक बहुपद में n जड़ें होंगी, जैसा कि द्वारा कहा गया है बीजगणित बीजगणित के मौलिक प , और वे जड़ें वास्तविक, बार -बार वास्तविक या जटिल हो सकती हैं।यह खोज को कठिन बनाता है।

पहले सरल जड़ों को खोजने का प्रयास करना (जैसे कि पूर्णांक और तर्कसंगत जड़ें) सबसे अच्छा संभव रणनीति है, क्योंकि यदि आप सरल जड़ें पाते हैं, तो आप उस बहुपद की डिग्री को कम करने के लिए फैक्टरकरण प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं जिसके साथ आप काम कर रहे हैं।

तर्कसंगत शून्य परीक्षण

यद्यपि आप विशेष सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके एक बहुपद समीकरण के लिए संख्यात्मक जड़ें प्राप्त कर सकते हैं, तर्कसंगत शून्य परीक्षण का उपयोग करना पहले पूर्णांक और तर्कसंगत समाधान खोजने का प्रयास करने के लिए एक महान अभ्यास है।यह एक स्मार्ट रणनीति है, और आपको एक सूची देती है जिसमें कोई समीकरण की तर्कसंगत जड़ें होंगी यदि कोई हो।

तर्कसंगत शून्य प्रमेय कैलकुलेटर

उदाहरण: तर्कसंगत शून्य प्रमेय आवेदन

तर्कसंगत जड़ों को खोजने के लिए तर्कसंगत शून्य परीक्षण का उपयोग करें: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

तमाम: > निम्नलिखित बहुपद समीकरण प्रदान किया गया है:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

जिसके लिए हमें उपरोक्त समीकरण के लिए संभावित तर्कसंगत जड़ों को खोजने के लिए तर्कसंगत शून्य प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आदेश का बहुपद समीकरण \(4\) एक तरफ पहले से ही सभी शब्द हैं और यह पहले से ही सरल है, इसलिए आगे सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है।

अब, हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो अग्रणी गुणांक \(a_{4}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों को बहुपद समीकरण के शून्य होने के लिए बनाने के लिए किया जाएगा।

▹ \(a_{4} = 3\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 3\)।

▹ \(a_0 = 14\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\)।

इसलिए, निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करना \(a_0 = 14\) प्रमुख गुणांक के प्रत्येक विभक्त द्वारा \(a_{4} = 3\), हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को जड़ें पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Lenturachut: तो, कोई भी उम्मीदवार एक जड़ नहीं है, और इसलिए, यह विधि हमें इस मामले में कोई तर्कसंगत समाधान खोजने की अनुमति नहीं देती है।

उदाहरण: तर्कसंगत शून्य प्रमेय आवेदन

क्या समीकरण: \(x^{10} - 4 = 0\) कोई तर्कसंगत जड़ें हैं?

तमाम: हमें तर्कसंगत जड़ों को खोजने की कोशिश करने की आवश्यकता है:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

तर्कसंगत शून्य प्रमेय का उपयोग करके।

आगे सरलीकरण की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि ऑर्डर 10 के बहुपद समीकरण में पहले से ही एक तरफ सभी शब्द हैं।

अब हमें उन पूर्णांक की पहचान करनी चाहिए जो अग्रणी गुणांक \(a_{10}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं, जिसके आधार पर हम बहुपद समीकरण के शून्य के लिए अपने उम्मीदवार बनाएंगे।

\(a_{10} = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

\(a_0 = -4\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)।

इसलिए, निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करना \(a_0 = -4\) प्रमुख गुणांक के प्रत्येक विभक्त द्वारा \(a_{10} = 1\), हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को जड़ें पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Lenturachut: तो, कोई भी उम्मीदवार एक जड़ नहीं है, और इसलिए, मूल बहुपद समीकरण में तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण: तर्कसंगत शून्य प्रमेय आवेदन

तर्कसंगत जड़ों को खोजने के लिए तर्कसंगत शून्य परीक्षण का उपयोग करें: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

तमाम: अब हमें काम करने की आवश्यकता है:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो अग्रणी गुणांक \(a_{3}\) और निरंतर गुणांक \(a_0\) को विभाजित करते हैं।

S टिपtun: इस मामले में, हम मानते हैं कि निरंतर और अग्रणी गुणांक दोनों के लिए हमें समीकरण के दोनों किनारों को \(9\) द्वारा बढ़ाने की आवश्यकता है।समकक्ष समीकरण है:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ \(a_{3} = 9\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\)।

▹ \(a_0 = -4\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)।

इसलिए, निरंतर गुणांक के प्रत्येक विभक्त को विभाजित करना \(a_0 = -4\) प्रमुख गुणांक के प्रत्येक विभक्त द्वारा \(a_{3} = 9\), हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को जड़ें पाते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

सभी उम्मीदवारों को अब यह निर्धारित करने के लिए परीक्षण किया जाना चाहिए कि क्या वे एक समाधान हैं।निम्नलिखित परिणाम प्रत्येक के परीक्षण के बाद प्राप्त किए जाते हैं:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Lenturachut: तो इस मामले में, प्रस्तावित उम्मीदवारों में से, हम तर्कसंगत जड़ें पाते हैं \(\displaystyle x = 1 \), << XYZB> और \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) और फिर, शब्द \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) बहुपद अभिव्यक्ति को विभाजित करता है \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\)।

अधिक बीजगणित कैलकुलेटर

अँगुला एक महत्वपूर्ण कौशल है जिससे आप बहुत लाभ उठा सकते हैं।बीजगणित में बहुत सारे एप्लिकेशन इसका उपयोग करते हैं, खासकर के साथ तमाम ।

एक बहुपद समीकरण का सबसे सरल मामला एक है रोटी , जिसमें अनुप्रयोगों का असंख्य है।

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