कारक प्रमेय

यह कैलकुलेटर आपको सभी चरणों को दिखाते हुए कारक प्रमेय का उपयोग करने में मदद करेगा।आपको बस एक वैध बहुपद प्रदान करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए x^3 - 3x + 4, और एक संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति, जैसे 1/3।यदि हम बहुपद P (x) कहते हैं, और मान A, तो हम यह आकलन करने के लिए कारक प्रमेय का उपयोग करते हैं कि (x - a) P (x) का एक कारक है या नहीं।

एक बार जब आप एक वैध बहुपद प्रदान करते हैं और एक मूल्य प्रदान किया जाता है, तो आपके लिए जो कुछ भी करने के लिए बचा है, वह सभी चरणों को प्राप्त करने के लिए "गणना" पर क्लिक करना है।

निरीक्षण करें कि एक्स - पी (एक्स) का एक कारक होने के नाते उस एक्स के समान है जो एक्स - ए डिवाइड पी (एक्स) बिल्कुल।

कारक प्रमेय क्या है?

एक बहुपद को फैक्टर करने का विचार सरल है: हम जानना चाहते हैं कि एक बहुपद को छोटे बहुपदों के गुणन के रूप में लिखा जा सकता है या नहीं।उदाहरण के लिए, यदि \(p(x)\) एक बहुपद है, और हम लिखने में सक्षम हैं

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

कुछ बहुपद के लिए \(q(x)\) तो हम कह सकते हैं कि \(x - a\) एक है तमाम \(p(x)\)।कारक प्रमेय में कहा गया है कि \(x - a\) के लिए \(p(x)\) का एक कारक होने के लिए, तो हमें उस \(p(a) = 0\), और इसके विपरीत, यदि \(p(a) = 0\), तो << xyzb> की आवश्यकता है।> \(p(x)\) का एक कारक है।

तो फिर, कारक प्रमेय हमें यह महत्वपूर्ण और बहुपद की जड़ों और बहुपद के कारकों के बीच एक तंग संबंध बताता है, इस बिंदु पर कि \(a\) बहुपद की एक जड़ है यदि और केवल अगर \(x - a\) है\(p(x)\) का एक कारक।इसलिए, एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए, हमें इसके कारकों को खोजने की आवश्यकता है।

फैक्टर प्रमेय का उपयोग कारक बहुपद के लिए कैसे करें

काफी कुछ अलग दृष्टिकोण हैं, लेकिन सबसे आम हैं:

• Letsunt 1: एक बहुपद P (x) के साथ शुरू करें।सुनिश्चित करें कि यह जितना संभव हो उतना सरल है।
• Therur the: यदि P (x) की डिग्री 2 या उससे कम है, तो जड़ें प्राप्त करने के लिए प्रत्यक्ष सूत्र हैं।डिग्री 2 के लिए, यदि जड़ें R1 और R2 हैं, तो बहुपद को P (x) = A (X-R1) (X-R2) के रूप में फैक्टर किया जाता है, जहां A अग्रणी शब्द है
• Theirण 3: डिग्री 3 या उच्चतर के लिए, एक जड़ का अनुमान लगाने का प्रयास करें, या पहले बेहतर उपयोग करें सरायस अधिक से अधिक तर्कसंगत जड़ों को खोजने के लिए
• Reyrur 4: यदि पिछले चरण में कोई जड़ें नहीं हुईं, तो रुकें।ऐसा कुछ भी नहीं है जो आप बुनियादी तरीकों के साथ कर सकते हैं, और संभावना है कि आपको एक संख्यात्मक सन्निकटन की आवश्यकता है
• च ५: ५: यदि आपको पिछले चरणों से कोई सरल जड़ें मिली हैं, तो कारक प्रमेय द्वारा शब्द x - r (जहां R एक जड़ है) कारक होना चाहिए।इसलिए हम सभी संबंधित कारकों द्वारा P (x) को विभाजित करते हैं।यह एक बहुपद की ओर ले जाएगा जिसमें एक डिग्री है जो पिछले चरणों में पाई जाने वाली जड़ों की संख्या के रूप में कम हो गई है।परिणामी बहुपद p (x) को कॉल करें
• च viry: 6: जब तक कि पुनरावृत्ति बंद न हो जाए, तब तक सभी चरणों को फिर से नए बहुपद P (x) पर लागू करें।

वास्तव में, डिग्री 3 और 4 के बहुपद की जड़ों के लिए सटीक सूत्र हैं, लेकिन वास्तव में उपयोगकर्ता के अनुकूल नहीं हैं, इसलिए वे आमतौर पर एक बुनियादी बीजगणित पाठ्यक्रम में कवर नहीं किए जाते हैं।

कैसे कारक प्रमेय और शेष प्रमेय से संबंधित है

कारक प्रमेय कसकर संबंधित है प rayrमेय ।ऐसा इसलिए है क्योंकि यूक्लिडियन अपघटन से जब प्राप्त होता है तंग \(p(x)\) और \(s(x)\), हमें लगता है कि वहाँ बहुपद हैं << XYZ >> और << xyz >> ऐसा है कि

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

\(deg(r(x)) < deg(s(x))\) के साथ।तो, विशेष रूप से, जब \(s(x) = x-a\), जिसमें डिग्री 1 है, हमारे पास है

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

और इस मामले में, \(r(x)\) में डिग्री 0 होनी चाहिए (क्योंकि यह S की डिग्री से छोटा होना चाहिए, जो 1 है), इसलिए तब \(r(x) = r\) एक स्थिर है।फिर

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

और प्लगिंग \(x = a\) उपरोक्त समीकरण में होता है:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

तो फिर शेष प्रमेय का अर्थ है कि अगर \(a\) एक जड़ है, तो \(p(a) = 0\) और इसलिए शेष भी << xyc >> है।

सफलता के लिए युक्तियाँ

कारक प्रमेय एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए एक अच्छा भी है, और हमें बताता है कि जड़ों को सीधे कारकों में बदल दिया जा सकता है।यह संभवतः आपके लिए अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए नेतृत्व करेगा, जिसके लिए कभी -कभी प्रक्रिया का उपयोग करते समय अधिक सुविधाजनक हो सकता है तमाम , केवल गणना करने में प्लगिंग के विपरीत।

कारकों को खोजने के लिए "सूत्र" के बारे में सोचने की कोशिश करने जैसी गलतियों से बचें।कारक ढूंढना अनिवार्य रूप से जड़ों को खोजने के समान है, जिसमें प्रभावी रूप से सक्षम होना शामिल है अफ़स दिए गए मूल्यों पर।

उदाहरण: कारक प्रमेय

\(x - 1\) \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\) का एक कारक है

तमाम: निम्नलिखित बहुपद प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), और हमें दिए गए बिंदु के लिए पता लगाने की आवश्यकता है \(\displaystyle x = 1\) \(\displaystyle x - 1\) \(p(x)\) का कारक है।

ऐसा करने के लिए, हम यह आकलन करने के लिए सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करेंगे कि \(\displaystyle p(1) = 0\)।

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का संचालन करने के लिए, हमें एक सिंथेटिक डिवीजन: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), और भाजक \(\displaystyle s = x-1\), और शेष को खोजने की आवश्यकता है।

निरीक्षण करें कि लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 3\) है, जबकि विभाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle 1\)।

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(3\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Theirण 3: कॉलम 1 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( -1+3 = 2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

च ५: ५: कॉलम 2 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( 2+2 = 4\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Their च 7: कॉलम 3 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( -1+4 = 3\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि हम अंतिम कॉलम में परिणाम के लिए पहुंचे हैं, जिसमें शेष शामिल हैं।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x-1\), हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = 3\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\)।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle x - 1\) \(p(x)\) का कारक नहीं है।

उदाहरण: अधिक कारक प्रमेय उदाहरण

बहुपद के लिए: \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), क्या है \(p(1/3)\), x - 1/3 के संदर्भ में क्या है, P (x) का एक कारक है?

तमाम: इस मामले में हमारे पास है: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), और दिया गया बिंदु \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) है।हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) \(p(x)\) का कारक है या नहीं।

पिछले उदाहरण के रूप में, सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग यह आकलन करने के लिए किया जाएगा कि क्या \(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\)।

पraurauraurauray: इस मामले में, हमें पहले लाभांश को सरल बनाने की आवश्यकता है \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), और ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सरलीकरण चरणों का संचालन करते हैं:

अब, हम एक सिंथेटिक डिवीजन: \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), के साथ, Divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) के साथ आगे बढ़ते हैं, और हमें शेष को खोजने की आवश्यकता है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle \frac{1}{3}\)।

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(4\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Theirण 3: कॉलम 1 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

च ५: ५: कॉलम 2 में परिणाम के अनुसार डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Their च 7: कॉलम 3 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि हम अंतिम कॉलम में परिणाम के लिए पहुंचे हैं, जिसमें शेष शामिल हैं।

Lenturachut: इसलिए, सरलीकरण के बाद, हम पाते हैं कि जब \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) और भाजक \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) को विभाजित किया जाता है, तो हमें लगता है कि शेष \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\)।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) \(p(x)\) का कारक नहीं है।

Vayaurण: rairक प प के के के के

\(x - 2\) \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

सता: इस rayaurण के लिए लिए kairे kasa tha है: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\)>> अचुरता का नाम

ऐसा करने के लिए, हम यह आकलन करने के लिए सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करेंगे कि \(\displaystyle p(2) = 0\)।

के सिंथेटिक सिंथेटिक डिवीजन के लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए rabataama: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\)

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle 2\)।

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Therur: अब हम सीधे अग kthirणी शब e शब exaza \(2\) rurasak पंक के लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

उनके ण 3: कॉलम 1 में raunauraura डिवीजन डिवीजन e बॉक e शब शब को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को e शब बॉक को को e शब बॉक e शब बॉक बॉक बॉक बॉक e शब बॉक e शब बॉक बॉक बॉक बॉक बॉक बॉक e शब

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में में म को को जोड़ते जोड़ते हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए जोड़ते जोड़ते जोड़ते जोड़ते को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

च च: ५: ५: कॉलम 2 में raurana के kairaur t बॉक डिवीजन k में शब शब शब शब शब को को को को को को को को शब शब शब शब शब शब शब शब शब शब शब

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में में म को को जोड़ते जोड़ते हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए जोड़ते जोड़ते जोड़ते जोड़ते जोड़ते को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

उनके च 7: कॉलम 3 kirasauta द द e बॉक e शब e शब शब को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को e शब बॉक e शब बॉक को को को e शब बॉक e शब बॉक बॉक बॉक बॉक e शब बॉक बॉक बॉक बॉक बॉक e शब

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

च च: 8: 8: अब कॉलम 4 में में म को को जोड़ते जोड़ते हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए जोड़ते जोड़ते जोड़ते जोड़ते को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Reyruther 9: कॉलम 4 में rurana के kairaur t बॉक डिवीजन k में शब शब शब शब को को को को को को को को को को शब शब शब शब शब शब शब शब शब शब शब

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

च च 10: अब कॉलम 5 में में म को को को जोड़ते हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए हुए जोड़ते जोड़ते जोड़ते जोड़ते को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को को

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

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Lenturachut: इसलिए, हम यह यह t निष निष kastak हैं कि दिए दिए दिए गए गए गए गए गए गए गए गए गए गए गए गए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए दिए कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि दिए।

इसलिए, हम हम निष निष निष निष ktaurachay हैं कि कि \(\displaystyle x - 2\) \(p(x)\)

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अफ़र्मा अफ़रता तड़प Rayrल kanaman खोजने के लिए लिए लिए उपयोग उपयोग उपयोग तंग उपयोग yurके rurण ण को डिग कम डिग में से एक एक rurने rurने कम तमाम तंग एक प्रकार का ।