बहुपद विभाजन

यह कैलकुलेटर आपके लिए एक बहुपद विभाजन का संचालन करेगा, और आपको बस दो वैध बहुपद प्रदान करना है।इन बहुपद के आदेश को मामले दिए गए हैं, क्योंकि बहुपद विभाजन है कमिटिव नहीं (तो P (x)/s (x) s (x)/p (x) के समान नहीं है)।

पहला बहुपद आपके द्वारा प्रदान किया जाता है, जिसे अक्सर लाभांश कहा जाता है, लाभांश से मेल खाती है, और दूसरा बहुपद वह है जिसे आप विभाजित कर रहे हैं, जिसे आमतौर पर विभाजक कहा जाता है।

मान्य बहुपद के उदाहरण p (x) = x^4 + 3x^3 - 2 और s (x) = x - 3 हैं, लेकिन बहुपद गुणांक को पूर्णांक नहीं होना चाहिए, क्योंकि वे अंश हो सकते हैं, या किसी भी प्रकार के हो सकते हैंमान्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति।इसके अलावा, बहुपद को सरल नहीं होना है।यदि आवश्यक हो, तो कैलकुलेटर का संचालन करेगा The -rirray विभाजित करने से पहले।

एक बार जब आप मान्य बहुपद प्रदान करते हैं, तो आप सभी सेट हैं।जो कुछ भी करना बाकी है वह "गणना" पर क्लिक करना है, इसलिए आप दिखाए गए प्रक्रिया के सभी चरणों को प्राप्त कर सकते हैं।

कैसे बहुपद को विभाजित करने के लिए

बहुपद विभाजन विभाजन संख्या की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है।उदाहरण के लिए, जब हम दो नंबरों को विभाजित करते हैं जैसे '4 विभाजित 2', हम 4/2 = 2 करते हैं। तो यह आसान है, है ना?

लेकिन यह हमेशा उतना आसान नहीं होता है, क्योंकि हमारे पास '7/2' जैसा कुछ हो सकता है।आप कह सकते हैं कि 'ठीक है, 7/2 = 3.5' और आप सही होंगे, लेकिन देखने का अन्य तरीका यह कहना है कि '7 से विभाजित 2 3 है, शेष 1 के साथ'।क्यों?क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है कि 2 से गुणा करना 7. निकटतम 3 है, ताकि \(2 \cdot 3 = 6\), लेकिन मेरे पास 1 का शेष है

वास्तव में एक ही विचार बहुपद विभाजन के लिए लागू होता है।एक बहुपद \(p(x)\) और एक भुजा \(s(x)\) हम करेंगे तिहाई एक भागफल खोजने के लिए \(q(x)\) ऐसा है

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

लेकिन हम हमेशा नहीं कर पाएंगे, उसी तरह से '7/2' के लिए हम एक सटीक विभाजन नहीं पा सके।फिर, हम शेष \(r(x)\) की पहचान करेंगे, जो कि बहुपद है कि P (x) के लिए लक्ष्य करते समय \(s(x) \cdot q(x)\) "मिस" कितना है।तो हम लिखते हैं

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

आदर्श रूप से, हम चाहते हैं कि \(r(x)\) शून्य हो, और यदि नहीं, तो हम चाहते हैं कि यह संभव के रूप में एक छोटा हो।यूक्लिड का एल्गोरिथ्म हमें दिखाता है कि सबसे छोटा संभव \(r(x)\) कैसे खोजें और यदि चीजें सही हो जाती हैं, तो यह शून्य हो सकता है, जिस स्थिति में हम कहते हैं कि Divigor \(s(x)\) बहुपद \(p(x)\) को विभाजित करता है।

बहुपद विभाजन के कदम क्या हैं?

• Letsunt 1: लाभांश P (x) और भाजक s (x) की पहचान करें।आगे बढ़ने से पहले उन्हें जितना संभव हो उतना सरल बनाना सुनिश्चित करें
• Therur the: यदि S (x) की डिग्री से अधिक है पी (एकtun) की की , स्टॉप, इस मामले में भागफल शून्य है और शेष पी (एक्स) है
• Theirण 3: यदि आप चरण 2 में नहीं रुकते हैं, तो विभाजक के प्रमुख शब्द पर ध्यान दें, और लाभांश के प्रमुख शब्द
• Reyrur 4: लाभांश और विभाजक की प्रमुख शर्तों के बीच विभाजन का पता लगाएं (इसकी व्याख्या की जाती है कि आपको किस शब्द को लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए विभाजक के प्रमुख शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है), और यह वर्तमान कारक होगा, जो होगावर्तमान भागफल में जोड़ा जा सकता है
• च ५: ५: विभाजक द्वारा वर्तमान कारक को गुणा करें, और परिणाम, इसे लाभांश में घटाएं, इस तरह से एक नया वर्तमान लाभांश बनाना
• च viry: 6: इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि वर्तमान लाभांश में एक डिग्री न हो जो विभाजक से कम न हो।फिर रुकें, आप वर्तमान भुजा आपके शेष होंगे

यह प्रक्रिया काम करने की गारंटी है क्योंकि वर्तमान लाभांश प्रत्येक चरण पर कम से कम एक से अपनी डिग्री को कम करता है।चतुर, हुह?।

किस विधि का उपयोग करना है, लॉन्ग डिवीजन या सिंथेटिक डिवीजन?

सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग विशेष मामले में किया जाता है कि भाजक के पास डिग्री एक है।उदाहरण के लिए s (x) = x - 1, लेकिन यह s (x) = x^2 - 1 के लिए काम नहीं करेगा, हालांकि इसके संस्करण हैं संशth -kana एल उच्च डिग्री के लिए।सिंथेटिक डिवीजन आमतौर पर डिग्री 1 के विभाजकों तक सीमित होता है क्योंकि इसके अंतरंग सहयोग के साथ तमाम और यह प rayrमेय , यह समझ में आता है।

ज्यादातर मामलों में लॉन्ग डिवीजन होगा, जब सिंथेटिक डिवीजन लागू नहीं होता है।ध्यान दें कि सिंथेटिक डिवीजन एक लंबी डिवीजन विधि का उपयोग करता है, केवल यह कि इसे सुपर क्विक होने के लिए अनुकूलित किया जाता है, इसलिए यह संभव है कि जब संभव हो तो यह पसंदीदा तरीका है।

बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग कैसे करें?

• Letsunt 1: अपने बहुपद समीकरण की पहचान करें, और सुनिश्चित करें कि समीकरण का प्रत्येक पक्ष वास्तव में एक वैध बहुपद है
• Therur the: संकेतों को बदलकर एक तरफ सभी शर्तों को दूसरी तरफ से पास करें
• Theirण 3: एक तरफ सभी शर्तों को समूहित करें और सरल करें
• Reyrur 4: अब आपके पास एक बहुपद समीकरण है जिसमें एक पक्ष एक बहुपद है, और दूसरा पक्ष 0 है, इसलिए यह संबंधित बहुपद को फैक्टर करके हल कर रहा है
• च ५: ५: सबसे पहले, आप के साथ कोशिश करते हैं सरायस सरल जड़ें खोजने का प्रयास करने के लिए
• च viry: 6: सरल जड़ों को समूहित करें, संबंधित रैखिक शब्द बनाएं (Ex: यदि x = 1 एक समाधान है, तो X - 1 शब्द बनाएं), उन्हें गुणा करें और इसके द्वारा बहुपद को विभाजित करें।इस तरह, आप निचले आदेश का एक भागफल प्राप्त करेंगे
• Their च 7: पिछले चरणों में पाए गए निचले क्रम के भागफल के साथ चरणों को दोहराएं

जैसा कि आप देख सकते हैं, कोई शॉर्टकट या मैजिक फॉर्मूला नहीं है । ।लेकिन एक व्यवस्थित प्रक्रिया है जो जड़ों को यथासंभव आसानी से खोजने की संभावना को बढ़ा सकती है।

बहुपद को विभाजित करने की परवाह क्यों होगी

सटीक रूप से क्योंकि बहुपद विभाजन आपकी कुंजी है बहुपद rurणों के लिए जड़ें जड़ें जड़ें जड़ें जड़ें जड़ें , जो बीजगणित के केंद्रीय विषयों में से एक हैं।

उदाहरण: बहुपद विभाजन गणना

निम्नलिखित डिवीजन की गणना करें: \(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)

तमाम: इस मामले में, डिवीजन से बशर्ते हमारे पास हो कि लाभांश \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) है, और भाजक \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) है।

इस मामले में, लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 3\) है, जबकि भाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) \(\displaystyle 3x^3\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) \(\displaystyle 3x\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(3x\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Therur the: अब, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -x^2+3x+3\) \(\displaystyle x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle 3x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(3x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Theirण 3: अब, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\) \(\displaystyle \frac{10}{3}x\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle 3x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(3x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

जिसके परिणामस्वरूप प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\), हमें लगता है कि भागफल \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}\) है और शेष है \(\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}\), और वह

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

उदाहरण: बहुपद का एक और विभाजन

लाभांश के विभाजन की गणना करें \(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\) और Divisor \(s(x) = 3x+1\)

तमाम: इस मामले में हमें प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\), जिसे बहुपद \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है।

अब, लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 4\) है, और भाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) \(\displaystyle 3x\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(3x\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Therur the: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle 3x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(3x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Theirण 3: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle 3x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(3x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Reyrur 4: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{152}{81}x\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle 3x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(3x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि वर्तमान शेष की डिग्री \(r(x) = -\frac{709}{486}\) भाजक की डिग्री से कम है \(s(x) = 3x+1\)।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\), हमें लगता है कि भागफल \(\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}\) है और शेष है \(\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}\), और वह

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

उदाहरण: अधिक बहुपद विभाजन

बहुपद के निम्नलिखित विभाजन की गणना करें: \(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\)।क्या हम कह सकते हैं कि x = -1 \(4x^4-2x^2+x-1\) की एक जड़ है

तमाम: हमारे पास निम्नलिखित लाभांश और विभाजक हैं: \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) और \(\displaystyle s(x) = x+1\)।

हमारे पास है कि लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 4\) है, और भाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: लाभांश का प्रमुख शब्द \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) \(\displaystyle 4x^4\) है, जबकि विभाजक के लिए प्रमुख शब्द \(\displaystyle s(x) = x+1\) \(\displaystyle x\) के बराबर है।

तो, हमें उस शब्द को गुणा करने की आवश्यकता है \(x\) लाभांश के प्रमुख शब्द को प्राप्त करने के लिए \(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें लाभांश में घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Therur the: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\) \(\displaystyle -4x^3\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Theirण 3: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle 2x^2+x-1\) \(\displaystyle 2x^2\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Reyrur 4: इस मामले में, वर्तमान शेष का प्रमुख शब्द \(\displaystyle -x-1\) \(\displaystyle -1x\) है, और हम जानते हैं कि विभाजक के लिए अग्रणी शब्द \(\displaystyle x\) है।

इसलिए, जिस शब्द को हमें वर्तमान शेष के अग्रणी शब्द के लिए प्राप्त करने के लिए \(x\) गुणा करने की आवश्यकता है, \(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\) है, इसलिए हम इस शब्द को भागफल में जोड़ते हैं।इसके अलावा, हम इसे विभाजक द्वारा \(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\) प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, जिसे हमें वर्तमान अनुस्मारक को घटाने की आवश्यकता है:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

और हम पुनरावृत्ति को रोकते हैं, क्योंकि वर्तमान शेष की डिग्री \(r(x) = 0\) भाजक की डिग्री से कम है \(s(x) = x+1\)।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\), हम पाते हैं कि भागफल \(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\) है और शेष है \(\displaystyle r(x) = 0\), जिसका अर्थ है कि \(s(x)\) विभाजन \(p(x)\) बिल्कुल, और हम मिलते हैं

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]

अधिक बहुपद कैलकुलेटर

सफलतापूर्वक सक्षम होने के नाते सवार फैक्टरिंग बहुपद के समय बीजगणित कौशल के अपने शस्त्रागार में महत्वपूर्ण साबित हो सकते हैं या अफ़स्या ।दशमलव को अंश