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संश्लेषण प्रतिस्थापन

सराय: इस सिंथेटिक प्रतिस्थापन कैलकुलेटर का उपयोग करें, जो गणना के सभी चरणों को दर्शाता है।कृपया एक बहुपद P (x) और एक मान x टाइप करें जहां आप नीचे दिए गए फॉर्म में बहुपद का मूल्यांकन करना चाहते हैं।

संश्लेषण प्रतिस्थापन कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको एक बहुपद \(p(x)\) के मूल्यांकन की प्रक्रिया में मदद कर सकता है, एक बिंदु पर \(x = a\)।कैलकुलेटर को चलाने के लिए, आपको किसी भी आदेश का एक वैध बहुपद और एक वैध संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्रदान करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आप बहुपद x^5 + 10x^3 - 2x - 12 पर एक बिंदु का मूल्यांकन करना चाह सकते हैं, और जिस बिंदु का आप मूल्यांकन करना चाहते हैं वह 1/3 है।

बहुपद को सरल नहीं किया जाना है, जब तक कि यह एक वैध बहुपद है।उदाहरण के लिए, आप x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 टाइप कर सकते हैं और कैलकुलेटर पहले होगा बहुपद को rurल kanay , संचालित करने से पहले तमाम ।

एक बार जब आप एक वैध बहुपद और एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्रदान कर लेते हैं, तो आप "गणना" पर क्लिक कर सकते हैं, दिखाए गए प्रक्रिया के चरणों को प्राप्त करने के लिए, जिसमें उपयुक्त आवेदन करना शामिल है अफ़रप ।।

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग क्यों?

सिंथेटिक प्रतिस्थापन किसी दिए गए बहुपद पर एक मूल्य का मूल्यांकन करने का एक तरीका है।यह है, आपके पास एक मान है \(x = a\), और एक बहुपद \(p(x)\), और आप दिए गए मान पर बहुपद का मूल्यांकन करना चाहते हैं, इसलिए आप \(p(a)\) का मान प्राप्त करना चाहते हैं।

अब, सवाल यह है कि केवल x = a में p (x) के मान में प्लग क्यों नहीं किया जाता है?उदाहरण के लिए, बहुपद \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) और मान \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) के साथ हमें गणना करने की आवश्यकता होगी

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

हालांकि, उपरोक्त गणना की तरह लगता है, हम्म्म्म, कम से कम कहने के लिए आमंत्रित करने के लिए नहीं।तो, क्या बहुपद \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) के माध्यम से \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) का मूल्यांकन करने का एक बेहतर, आसान तरीका है ??आप शर्त लगाते हैं?

यह पता चला है कि, के आधार पर प rayrमेय , जब आपके पास एक बहुपद \(p(x)\) है, और आप इसे << x b >> से विभाजित करते हैं, तो इसका शेष हिस्सा << XYZ >> के बराबर है।

जादू, सही?तो फिर आपको केवल बहुपद \(p(x)\) लेने की आवश्यकता है, और \(x-a\) के साथ एक बहुपद विभाजन करें अफ़रप (तुम कर सकते हो लॉनth -k kana उपयोग उपयोग क भी, लेकिन यह थोड़ा अधिक बोझिल है)

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करने के लिए कदम

Letsunt 1: उस बहुपद P (x) की पहचान करें जिसके साथ आप काम कर रहे हैं, और मूल्य x = A आप बहुपद का मूल्यांकन करना चाहते हैं
Therur the: यदि बहुपद की डिग्री शून्य है, तो बहुपद स्थिर है और पी (ए) वह स्थिर भी है
Theirण 3: मान लें कि बहुपद की डिग्री 1 या उससे अधिक है।लाभांश P (x) और विभाजक x - a पर सिंथेटिक डिवीजन लागू करें
Reyrur 4: एक बार जब आप पूरा हो जाते हैं, तो अंतिम कॉलम को देखें, और आपको संख्यात्मक शेष मिल जाएगा।आपके पास तब होगा जो P (a) उस मान के बराबर है

तो, हम देख सकते हैं कि अफ़रसी बहुपद विभाजन के साथ अंतरंग रूप से संबंधित है, और यह वही है जो शेष प्रमेय बताता है।

सिंथेटिक प्रतिस्थापन के अनुप्रयोग

जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, यह स्पष्ट है कि हम स्पष्ट रूप से \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\) की गणना करने के लिए एक कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह स्पष्ट रूप से कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है।

इंजीनियरिंग और अन्य अनुप्रयोगों में, यह स्पष्ट है कि हम संभव प्रक्रिया के रूप में कुशल उपयोग करना चाहेंगे, और सिंथेटिक प्रतिस्थापन की प्रक्रिया एक मुट्ठी भर सरल गुणा और परिवर्धन तक कम हो जाती है, जो कि प्रतिपादित होने की तुलना में बहुत "सस्ता" है।अन्यथा आवश्यक है

कैसे पता करें कि सिंथेटिक मूल्यांकन का उपयोग कब करें या बस बहुपद में प्लग करें?

Letsunt 1: बहुपद p (x) के साथ आप काम कर रहे हैं, और x = a का मान निर्धारित करें, जिस पर आप बहुपद का मूल्यांकन करना चाहते हैं
Therur the: 0 या 1 की डिग्री के लिए P (x) की डिग्री देखें, आप मान में प्लग को सरल बना देंगे
Theirण 3: 2 और उससे आगे की डिग्री के लिए, सिंथेटिक मूल्यांकन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करने की सुविधा के रूप में स्पष्ट हो जाता है बहुपद की t डिगthirी वृद्धि, विशेष रूप से डिग्री 4 और उच्चतर के लिए ..

सफलता के लिए युक्तियाँ

इसे मास्टर करने के लिए सामान्य सारणीबद्ध विधि का उपयोग करते हुए, एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का पालन करने का प्रयास करें।संकेतों के साथ गलतियों से बचना और जब आप पंक्तियों को जोड़ते हैं तो त्रुटियों के बिना अंतिम शेष पर पहुंचने के लिए महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करें

बहुपद पर विचार करें: \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\), इसका मूल्यांकन करें \(x = \frac{1}{3}\)

तमाम: निम्नलिखित बहुपद प्रदान किया गया है: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), जिसका मूल्यांकन सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) पर किया जाना चाहिए।

सिंथेटिक प्रतिस्थापन का संचालन करने के लिए, हमें एक सिंथेटिक डिवीजन: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), और भाजक \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), और शेष को खोजने की आवश्यकता है।

निरीक्षण करें कि लाभांश की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 5\) है, जबकि विभाजक की डिग्री \(\displaystyle deg(s)) = 1\) है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle \frac{1}{3}\)।

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(1\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Theirण 3: कॉलम 1 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

च ५: ५: कॉलम 2 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Their च 7: कॉलम 3 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Reyruther 9: कॉलम 4 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

च च 10: अब कॉलम 5 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 5 में डाला गया है।

Their च 11: कॉलम 5 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हमें मिलता है: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 5 में डाला जाता है।

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

च च 12: अब कॉलम 6 में मानों को जोड़ते हुए, हमें मिलता है: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 6 में डाला गया है।

जो इस गणना का निष्कर्ष निकालता है, क्योंकि हम अंतिम कॉलम में परिणाम के लिए पहुंचे हैं, जिसमें शेष शामिल हैं।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\) है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\)।

उदाहरण: सिंथेटिक प्रतिस्थापन का अनुप्रयोग

मान x = 1 बहुपद का एक मूल है: \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)?

तमाम: सिंथेटिक प्रतिस्थापन को पिछले उदाहरण की तरह लागू किया जा सकता है, लेकिन x = 1 जैसे साधारण मूल्य के मामले में, हम बस X = 1 को प्लग कर सकते हैं और गणना बहुत सरल है:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

तो फिर x = 1 एक जड़ नहीं है।

उदाहरण: अधिक सिंथेटिक प्रतिस्थापन

\(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\) के लिए p (1/2) का मूल्यांकन करें।

तमाम: अब हमारे पास \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) है, इसका मूल्यांकन बिंदु पर किया जाना है \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) सिंथेटिक प्रतिस्थापन का उपयोग करके।

इसलिए हम सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करते हैं: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), और भाजक \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), और उद्देश्य शेष को ढूंढना है।

Letsunt 1: चूंकि विभाजक के पास डिग्री 1 है, हम सिंथेटिक डिवीजन विधि का उपयोग कर सकते हैं।\(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) हल करके हम सीधे पाते हैं कि डिवीजन बॉक्स में डालने की संख्या है: \(\displaystyle \frac{1}{2}\)।

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Therur the: अब हम सीधे अग्रणी शब्द \(1\) परिणाम पंक्ति के लिए पास करते हैं:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Theirण 3: कॉलम 1 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 1 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Reyrur 4: अब कॉलम 2 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

च ५: ५: कॉलम 2 में परिणाम के अनुसार डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 2 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

च viry: 6: अब कॉलम 3 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Their च 7: कॉलम 3 में परिणाम के द्वारा डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 3 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

च च: 8: अब कॉलम 4 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Reyruther 9: कॉलम 4 में परिणाम के अनुसार डिवीजन बॉक्स में शब्द को गुणा करते हुए, हम पाते हैं: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 4 में डाला गया है।

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

च च 10: अब कॉलम 5 में मानों को जोड़ते हुए, हम पाते हैं: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) और यह परिणाम परिणाम पंक्ति, कॉलम 5 में डाला गया है।

Lenturachut: इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दिए गए लाभांश के लिए \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) और Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), और हम पाते हैं कि शेष \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\) के बराबर है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\)।

अधिक बहुपद कैलकुलेटर

का महत्व अफ़र्याशियस और गणना को नहीं समझा जा सकता है। बहुपद जड़ें अविश्वसनीय रूप से बहुमुखी हैं और भौतिकी और इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं।।

इस लेख में हमने दोनों के साथ सिंथेटिक प्रतिस्थापन के साथ स्पष्ट संबंध देखा अफ़रप और तमाम , जो उस सर्कल को बंद कर देता है जो द्वारा फैलाया जाता है प rayrमेय , जो बिना किसी संदेह के बीजगणित के मौलिक प्रमेय के लिए एक प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती है।