द्विघात सूत्र: एक द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

\( a \neq 0\)के साथ।यह मुख्य सूत्र है जो निर्धारित करता है तमाम ।

अच्छी खबर यह है कि उपरोक्त समीकरण को हल करना बहुत कठिन नहीं है, जो यह देखते हुए एक बड़ी बात है कि द्विघात समीकरण शाब्दिक रूप से बीजगणित, कैलकुलस और बहुत अधिक हर जगह दिखाई देता है।

द्विघात सूत्र समाधान

अब, सवाल यह है कि इस द्विघात सूत्र को कैसे हल किया जाए।सौभाग्य से, उत्तर सरल और अच्छी तरह से जाना जाता है: इसमें फॉर्म का समाधान है

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

इन्हें जाना जाता है दthaphak yurण की जड़ें जड़ें (समीकरण के समाधान के रूप में भी जाना जाता है)।समाधान की प्रकृति का विश्लेषण करने के लिए, भेदभावपूर्ण को परिभाषित किया गया है:

\[D = b^2 - 4ac\]

द्विघात सूत्र के समाधान के प्रकार

भेदभावपूर्ण के मूल्य के आधार पर, समाधान की प्रकृति को परिभाषित किया गया है।वास्तव में, जब \(D > 0\), तब दो अलग -अलग वास्तविक समाधान होते हैं, जब \(D = 0\), एक बार -बार वास्तविक समाधान होता है, और जब \(D < 0\), दो अलग -अलग काल्पनिक समाधान होते हैं।यह तमाम आपको इन गणनाओं को स्वचालित रूप से बनाने में मदद करता है।

इस द्विघात समीकरण सॉल्वर की साफ-सुथरी चीजों में से एक यह है कि यह वाई-इंटरसेप्ट की गणना करने के लिए चरणों को दिखाएगा, वर्टेक्स के निर्देशांक और यह द्विघात कार्य की साजिश करेगा

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द्विघात सूत्र चरण

एक द्विघात समीकरण को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आपको कई चरणों का पालन करना होगा:

Yaurण 1: kana की की kanauth thayrें। फॉर्म \(ax^2+bx+c\)के दिए गए समीकरण की जांच करें, और गुणांक \(a\), \(b\)और \(c\)निर्धारित करें।गुणांक \(a\)गुणांक है जो द्विघात शब्द \(x^2\)को गुणा करता है।गुणांक \(b\)गुणांक है जो रैखिक शब्द \(x\)को गुणा करता है, और गुणांक \(c\)स्थिर है।

उदाहरण: मान लीजिए कि आपके पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: \(x^2+3x+1\)।गुणांक क्या हैं?इस मामले में \(a = 1\)(गुणांक quadratic शब्द \(x^2\)), \(b = 3\)(गुणांक रैखिक शब्द \(x\)), और \(c = 1\)(स्थिर) को गुणा करने वाला गुणांक।

उदाहरण: कैसे मान लीजिए कि आपके पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\)।अब गुणांक क्या हैं?इस मामले में \(a = \frac{1}{2}\)(गुणांक quadratic शब्द \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\)(गुणांक रैखिक शब्द \(x\)), और \(c = \frac{5}{4}\)(स्थिर) को गुणा करने वाला गुणांक।

उदाहरण: निम्नलिखित अभिव्यक्ति के साथ क्या होता है: \(-3 + \frac{1}{2} x\)।इस मामले में, हमारे पास \(a = 0\)है, क्योंकि अभिव्यक्ति में एक द्विघात शब्द \(x^2\)नहीं है, इसलिए इस मामले में, यह एक द्विघात अभिव्यक्ति नहीं है।

Rayrण 2: अविनार में kanak गए kana को को प प सूत्र द्विघात सूत्र है

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

तो आपको गुणांक \(a\), \(b\)और \(c\)के मान को बदलने की आवश्यकता है।

उदाहरण: यदि आपके पास समीकरण है: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), तो आप पाते हैं कि \(a = -3\), \(b = 2\)और \(c = -1\)।तो, इस मान को प्लग करना हमारे द्वारा प्राप्त सूत्र में:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Rayrण 3: rayrण में kanaut स rirल ray ray, एक yadair t आप \(a\), \(b\)yur ।पिछले उदाहरण में, हमारे पास होगा

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Thirr ४: theircuth के r अंद अंद अंद अंद। यदि मूल्य सकारात्मक है, तो तमाम दो वास्तविक जड़ें हैं।यदि मान 0 है, तो एक वास्तविक जड़ है, और यदि वर्गमूल के अंदर का मान नकारात्मक है, तो दो जटिल जड़ हैं।पिछले उदाहरण में, हमारे पास वर्गमूल के अंदर एक -8 है, इसलिए हमारे पास दो जटिल समाधान हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

के लिए उपयोग किया जाने वाला द्विघात सूत्र क्या है

The तमाम गणित में सबसे सर्वव्यापी सूत्र में से एक है।ऐसा तब प्रतीत होता है जब आप सभी प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल कर रहे हैं, जैसे कि जब आप किसी क्षेत्र को अधिकतम कर रहे हैं, एक निश्चित परिधि को देखते हुए, या कई शब्द समस्याओं में।

बहुत से लोग आश्चर्य करते हैं कि क्या इस द्विघात समीकरण सूत्र और विधि के बीच कोई संबंध है अफ़स्या ।उत्तर सरल है: आप द्विघात सूत्र पर पहुंचते हैं तमाम वर्ग को पूरा करने के माध्यम से।यह बिल्कुल एक ही विचार है, जो कि द्विघात सूत्र से निकला है जिसे हम सभी जानते हैं।

निरीक्षण करें कि द्विघात समीकरण के समाधान में एक बहुत ही दिलचस्प ज्यामितीय संपत्ति होती है: जब आप पाए गए समाधानों के औसत की गणना करते हैं, सराफक एक परबोला, जिसे मानक रूप के रूप में भी जाना जाता है, कई अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, शंक्वाकार वर्गों के साथ उदाहरण।

द्विघात सूत्र उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना करें: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

समाधान:

निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

यह एक द्विघात समीकरण से मेल खाता है।समाधान खोजने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें लगता है कि:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

इसलिए, समाधान हैं:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

इसलिए, दो काल्पनिक समाधान \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \)और \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \)हैं।

इसके अलावा, Y-Intercept \(y = 4\)पर होता है, जिसका अर्थ है कि y- इंटरसेप्ट के निर्देशांक \((0, 4)\)हैं।

अंत में, शीर्ष के निर्देशांक हैं:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]