La valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre correspond à sa grandeur, sans considérer son signe, s'il l'a. Géométriquement, il correspond à la distance d'un point \(x\) à l'origine \(0\), sur la ligne réelle
Mathématiquement, la valeur absolue d'un nombre \(x\) est représentée par \(|x|\).
En raison de la nature géométrique de son interprétation, la valeur absolue est largement utilisée dans l'algèbre et d'autres branches mathématiques, et il s'avère qu'il est très facile de calculer la valeur absolue d'un nombre donné: tout ce que vous avez à faire est de supprimer le signe, s'il y a un signe.
EXEMPLE 1
Calculez la valeur absolue de \(-8\).
RÉPONDRE:
Comme nous l'avons mentionné plus haut, la valeur absolue d'un nombre est sa grandeur, sans tenir compte du signe. Dans ce cas, en acceptant le signe, on se rend compte que la valeur absolue de \(-8\) est \(8\). Mathématiquement, nous écrivons \(|-8| = 8\).
EXEMPLE 2
Calculez la valeur absolue de \(4\).
RÉPONDRE:
On sait que la valeur absolue d'un nombre est sa grandeur, sans tenir compte du signe. Dans ce cas, il n'y a pas de signe à supprimer, alors faites en sorte que la valeur absolue de \(4\) soit simplement \(4\). Donc, mathématiquement, nous écrivons \(|4| = 4\).
Définition mathématique de la valeur absolue
Cette idée de "laisser tomber le signe" suffit si tout ce que nous faisons est de calculer la valeur absolue des nombres. Mais en fait, nous faisons plus de choses, qui sont un peu plus compliquées, comme les équations de valeur absolue et les inégalités.
Mathématiquement, la définition formelle de \(|x|\) est donnée ci-dessous.
\ [| x | = \ left \ {\ begin {array} {cc} x \ text {} & \, \, \, \ text {pour} x \ ge 0 \\ \\ -x & \, \, \ text {pour} x <0 \\ \ end {array} \ right. \]Sans paniquer, analysons la définition ci-dessus. Il dit simplement: "Vérifiez le nombre donné \(x\). Si \(x\) est supérieur ou égal à zéro, alors la valeur absolue du nombre sera le nombre lui-même. Sinon, si le nombre donné \(x\) est négatif, la valeur absolue du nombre est \(-x\) , ce qui correspondrait à la multiplication du nombre obtenu par \(-1\).
Donc, dans le cas de \(-8\), ce nombre de négatif, donc la valeur absolue est obtenue en le multipliant par \(-1\), donc nous obtenons \(|-8|\) = (-1) \ times (-8) = 8. C'est tout.
Maintenant, cette définition peut ressembler à une exagération. Après tout, pourquoi ne pas s'en tenir à la méthode «drop the sign»? Il y a une raison à cela, et c'est simplement parce que cette façon de définir la valeur absolue nous aide à gérer des situations plus difficile à définir une valeur absolue.
Par exemple, si je vous demande de résoudre l'inégalité suivante: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), seriez-vous capable de simplement «supprimer le signe» pour le réduire? Pas assez. Ne vous inquiétez pas, nous discutons des inégalités publiées des valeurs absolues dans un autre tutoriel.
Je voulais seulement souligner pourquoi nous prenons le travail pour faire une définition formelle de la valeur absolue, et cela parce qu'à un moment donné nous en aurons besoin, lorsque nous traitons des opérations plus compliquées concernant les valeurs absolues.
Propriétés de la valeur absolue
Voici les principales propriétés:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), pour les nombres réels \(a\) et \(b\)
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), pour les nombres réels \(a\) et \(b\)
L'erreur de la racine carrée d'un carré
Enfin, je voudrais donner du crédit à la valeur absolue d'une référence manquante. Oui, cela mérite d'être reconnu. En effet, souvent, nous voyons au lycée ou même à l'université une déclaration trouble comme:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]avec une déclaration dite que "la racine carrée annule le carré". Je ne vais pas dire que c'est faux, mais je dirai que c'est vrai quand \(x\) est non négatif. La vraie déclaration serait
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]et là vous avez une des apparences stellaires de la valeur absolue. Avec le temps, vous vous rendrez compte que cela apparaît plus fréquemment que ce que pensez.
En savoir plus sur la valeur absolue
La valeur absolue est un concept simple, et c'est vraiment utile, car elle a une interprétation géométrique claire dans la ligne réelle: elle représente la distance de n'importe quel point à l'origine.
Bien qu'il soit simple de calculer pour un nombre, il existe des opérations et des complexes qui impliquent des valeurs absolues, telles que les équations et les inégalités de valeur absolue. Ceux-ci nécessitent une stratégie claire pour être résolus, sinon vous pouvez rester perplexe.
Comment trouver une valeur absolue?
En règle générale, il n'est pas si difficile de trouver la valeur absolue d'un nombre donné: tout ce que vous avez à faire est d'obtenir la grandeur du nombre, sans tenir compte du signe. En d'autres termes, et pour simplifier les choses, regardez simplement s'il y a un signe et laissez-le tomber.
La procédure est moins évidente lorsque vous calculez la valeur absolue d'une expression algébrique, que vous devez d'abord réduire l'expression à un nombre, puis supprimer tout signe s'il l'a.
Applications de la valeur absolue
Utiliser la valeur absolue va au-delà du simple calcul de la valeur absolue des nombres. La valeur absolue a des propriétés intrinsèques qui en font un outil d'analyse inestimable.
Par exemple, la valeur absolue apparaît fréquemment dans de nombreuses situations, comme par exemple pour \(\sqrt{x^2} = |x|\), qui est généralement considérée comme acquise, car la plupart des gens utilisentont \(\sqrt{x^2} = x\), ce qui est incorrect lorsque \(x\) est négatif.
La valeur absolue apparaît également en géométrie (car la valeur absolue d'une différence représente la distance entre deux points), en intégration et pour quand il faut résoudre inégalités de valeur absolue .
Vous pouvez également utiliser ceci calculatrice de valeur absolue pour mettre en pratique les concepts appris dans ce didacticiel. Ou pour des calculs plus généraux, vous pouvez utiliser ceci calculatrice d'expression algébrique .