Calcul des probabilités conditionnelles
Soit \(A\) et \(B\) des événements. La probabilité conditionnelle est définie comme
\[ \Pr(A | B) = \frac{ \Pr(A \cap B) }{ \Pr(B) } \]tant que \(Pr(B) \ne 0 \).
Cette probabilité conditionnelle peut être interprétée comme la probabilité que A se produise en supposant que nous savons que B est vrai . En d'autres termes, cette probabilité conditionnelle est simplement la probabilité de A étant donné des informations supplémentaires sur B.
Nous référons normalement \(\Pr(A | B)\) comme la probabilité de A donné B . Cela signifie que, en supposant que B est vrai, nous devons calculer la probabilité de A.
Exemple: Une étude montre que si nous choisissons une personne au hasard, la probabilité que la personne aille dans un centre commercial pendant le week-end est de 0,74, la probabilité que la personne aille chercher de la glace est de 0,45 et la probabilité qu'elle le fasse. faire les deux est de 0,34. Trouvez la probabilité que la personne reçoive de la glace donné qu'elle ira au centre commercial.
Répondre : Définissons les événements suivants
\[A = \{\text{The person gets ice cream}\}\] \[B = \{\text{The person gets goes out to a mall}\}\]Cela signifie que
\[\Pr(A | B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)} = \frac{\Pr(\text{The person goes to a mall and goes to eat ice cream})}{\Pr(\text{The person goes to a mall})}\] \[ = \frac{0.34}{0.74} = 0.459\]& gg; Une autre façon d'utiliser les probabilités conditionnelles
La formule de probabilité conditionnelle peut être écrite de la manière très utile suivante:
\[ \Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B)\]Cette formule rend certains calculs très simples, comme le montre l'exemple ci-dessous:
Exemple d'application: Une urne contient 8 boules noires et 4 boules blanches. Deux balles sont retirées de l'urne sans remplacement. Calculez la probabilité que les deux boules soient blanches.
Répondre : Ce problème peut être délicat sans les préliminaires appropriés. Tout d'abord, nous définissons les événements suivants:
\[A = \{\text{The second ball is white}\}\] \[B = \{\text{The first ball is white}\}\]Nous devons calculer la probabilité que les deux boules soient blanches, ce qui signifie que la nécessité de calculer \(\Pr (A \cap B) \). En utilisant la dernière formule pour la probabilité conditionnelle:
\[\Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B) = \frac{3}{11}\times \frac{4}{12} = \frac{1}{11} = 0.0909\](Notez que si la première balle est blanche, il ne reste plus que 11 balles: 3 balles blanches et 8 balles noires)
Si vous souhaitez obtenir des solutions étape par étape pour la probabilité conditionnelle d'événements, vous pouvez utiliser notre Calculateur de conversation conditionnelle .