Les fractions et leurs opérations
Une fraction correspond à un numéro de la forme
\[ \displaystyle{\frac{a}{b}}\]où \(a\) et \(b\) sont nombres entiers , et il peut être considéré comme «\(a\) divisé par \(b\)». Par exemple, les nombres
\[ \displaystyle{\frac{3}{4}}, \displaystyle{\frac{8}{9}}, \displaystyle{\frac{-3}{4}}\]sont des fractions. La seule restriction pour la fraction \( \displaystyle{\frac{a}{b}}\) est que \(b \neq 0\), car dans ce cas la fraction est indéfini .
Somme des fractions
Le cas le plus simple est celui où les dénominateurs coïncident. En fait, dans ce cas, nous constatons que:
\[ \displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} }\]Cela a du sens car \( \frac{a}{b} \) peut être interprété comme "\(a\) fois \(\frac{1}{b}\)", et par conséquent, "\(a\) fois \(\frac{1}{b}\)" plus «\(c\) fois \(\frac{1}{b}\)» doit être «\(a + c\) fois \(\frac{1}{b}\)»
Exemple: La somme
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}\]est calculé comme
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2+4}{3} = \frac{6}{3} = 2}\]Cela montre qu'une fraction peut devenir simplement un nombre, de la même manière que \(6/3\) est simplement 2.
Somme des fractions avec un numérateur différent
Ce cas est plus difficile que l'autre, car nous ne pouvons pas additionner les numérateurs. Ce que nous devons faire, c'est amplifier les fractions (multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre) de manière à ce qu'elles aient le même dénominateur. En fait, considérez la fraction
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} }\]On peut amplifier cette fraction par 2:
\[ \displaystyle{\frac{2*2}{2*3} = \frac{4}{6}} \]La fraction résultante est tout à fait équivalente à celle d'origine. Comment utilisons-nous cela pour ajouter des fractions?
Exemple: La somme
\( \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}}\)
est calculé en amplifiant d'abord la première fraction par 2, ce qui conduit à \(4/6\), puis
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}}\]Cette dernière fraction peut être simplifié en divisant le numérateur et le dénominateur par 3, la réponse finale est donc \(3/2\)
En général: La somme des fractions est calculée
\[ \displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}}\]