Coefficient de corrélation Intervalle de confiance

Le coefficient de corrélation est une statistique (ce qui implique qu'il est calculé à partir de données d'échantillon) qui fournit une mesure numérique pour quantifier la force de l'association linéaire entre deux variables. Les valeurs de corrélation, par définition, peuvent être comprises entre -1 et 1.

Une corrélation proche de 1 suggère l'existence d'une forte association linéaire positive entre les deux variables, et une corrélation proche de -1 suggère l'existence d'une forte association linéaire négative entre les deux variables. Plus la corrélation est proche de 1 (ou -1), plus l'association linéaire est forte.

Comment calculer le coefficient de corrélation

Mathématiquement, le le coefficient de corrélation est calculé comme suit:

$$r =\frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i - \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \left(\sum_{i=1}^n y_i \right) }{\sqrt{n \sum_{i=1}^n x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2} \sqrt{n \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n y_i \right)^2} }$$

qui peut être plus facilement réécrit comme suit :

$$r = \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \left(\sum_{i=1}^n y_i \right) }{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 - \frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n y_i \right)^2}} = \frac{SS_{XY}}{\sqrt{SS_{XX}\cdot SS_{YY} }}$$

Notez que cela ne convient qu'à deux variables. Chaque fois que vous avez plus de deux variables, vous pouvez utiliser notre calculateur de matrice de corrélation , qui vous fournira la matrice de corrélation, représentant la corrélation entre TOUTES les paires de variables.

Pouvez-vous calculer un intervalle de confiance pour un coefficient de corrélation ?

Oui! Un coefficient de corrélation a un intervalle de confiance. En effet, un coefficient de corrélation d'échantillon est une estimation d'une véritable corrélation de population et, en tant que tel, il se prête à des estimations d'intervalle. Maintenant, la procédure de calcul de l'intervalle de confiance associé à une corrélation d'échantillon est un peu plus compliquée, car elle nécessite l'utilisation de certaines transformations.

Comment trouver le coefficient de corrélation et l'intervalle de confiance ?

Étape 1 : Vous devez calculer la corrélation d'échantillon $r$, ou vous la faire fournir.

Étape 2 : Calcule une transformation du coefficient de corrélation, basée sur la tangente hyperbolique inverse, définie comme $r' = \tanh^{-1}(r)$. Ce sera le centre d'un intervalle de confiance auxiliaire qui sera utilisé.

Étape 3 : Calculez l'erreur type de la corrélation transformée à l'aide de la formule suivante :

$$SE = \frac{1}{\sqrt{n-3}}$$

où $n$ représente la taille de l'échantillon.

Étape 4 : Calculez l'intervalle de confiance auxiliaire suivant :

$$CI' = (\tanh^{-1}(r) - z_c \times SE, \tanh^{-1}(r) + z_c \times SE)$$

où $z_c$ représente la valeur critique pour le niveau de confiance donné. Par exemple, pour un niveau de confiance de 95 %, nous avons ce $z_c = 1.96$.

Étape 5 : On exponentie les bornes de l'intervalle de confiance auxiliaire CI', pour obtenir l'intervalle de confiance qui nous intéresse :

$$CI = (\tanh(r' - z_c \times SE), \tanh(r' + z_c \times SE))$$

c'est ainsi que vous calculez l'intervalle de confiance dans R.

Intervalle de confiance pour l'interprétation du coefficient de corrélation

L'interprétation de l'intervalle de confiance pour la corrélation est à peu près la même que pour les autres paramètres et statistiques d'échantillon. Pour un intervalle de confiance avec des bornes $(r_L, r_U)$, nous pouvons dire que nous sommes sûrs (au niveau de confiance donné) que l'intervalle $(r_L, r_U)$ contient la vraie corrélation de population.

Plus concrètement, avec un exemple. Supposons que vous ayez un intervalle de confiance de corrélation à 95 % avec des limites $(0.34, 0.59)$, nous pouvons donc dire que nous sommes sûrs à 95 % que l'intervalle $(0.34, 0.59)$ contient la véritable corrélation de population.