En savoir plus sur les dérivés

Dans la deuxième partie de ce tutoriel, nous travaillerons sur d'autres exemples légèrement plus compliqués.

Exemple: Étant donné la fonction $f(x) = x^3 + 2x+1$ , calculez la dérivée $f'(x)$ pour chaque point où elle est définie.

Solution: Remarquez que dans ce problème, ils ne nous donnent pas un point précis auquel calculer la dérivée. Nous devons calculer à un point arbitraire $x_0$ . Comment fait-on cela? Eh bien, nous suivons simplement la définition:

f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

et maintenant nous utilisons la définition de $f(x)$ . En fait, on obtient:

f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0}

= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0}

Maintenant, nous utilisons une petite astuce algébrique:

x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)

Maintenant, faites attention. Nous utilisons cette petite astuce dans la dernière partie du calcul de la dérivée, et nous constatons que

f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0}

Comme vous pouvez le constater, nous pouvons annuler $x-x_0$ , et nous obtenons enfin

f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2

En d'autres termes, la fonction dérivée est $f'(x) = 3x^2+2$ . Vous voyez? C'est ce que je voulais dire quand j'ai dit que le dérivé est aussi une fonction. Dans ce cas, la dérivée est bien définie pour tous les $x\in \mathbb R$ .

Oui, il est vrai que nous avions besoin de quelques astuces pour calculer la dérivée. Alors, comment allez-vous le faire ?? Laissez-moi vous dire quelque chose, vous ne calculerez pas les dérivés à la main comme ça la plupart du temps. Dans le prochain tutoriel, je vais vous présenter quelques des outils qui facilitent le calcul des dérivés .

Alors, attendez le prochain.