Uma sequência \(a_n\) corresponde a uma matriz infinita ou lista de número do formulário

onde \(a_1, a_2, a_3, ...\) são números reais. Por exemplo, a sequência

é representado pela lista

porque esses são os valores que a expressão \(a_n = \frac{1}{n}\) assume quando \(n\) assume os valores 1, 2, 3, ... etc.

Convergência de sequências

Um conceito que normalmente é difícil de entender é a convergência de uma sequência. A ideia é muito trivial: Uma sequência \(a_m\) converge para um valor \(a\) se os valores da sequência se aproximam cada vez mais de \(a\) (na verdade, eles ficam tão próximos quanto queremos) conforme \(n\) se aproxima do infinito.

Por exemplo: A sequência \(a_n = 1/n\) é tal que

porque o valor de \(1/n\) torna-se "tão próximo de zero quanto queremos" à medida que \(n\) se aproxima do infinito.

Definição formal de convergência:

A sequência \(a_n \to a\) como \(n \to \infty\), ou de outra forma disse \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) se

• Para todos os \(\varepsilon >0\), existem \(n_0\) tais que \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)

Isso quer dizer que não importa o quão perto você queira da sequência de \(a\), sempre há um ponto na sequência de forma que todos os pontos além desse, estão próximos o suficiente de \(a\). Em outras palavras a convergência de uma sequência não afirma que algum número da sequência chega perto o suficiente do limite \(a\), mas, em vez disso, indica que se formos longe o suficiente na sequência, todos os valores de if estarão próximos o suficiente.

Álgebra de Limites

Operar com limites não é tão complicado, uma vez que os conhecemos. Na verdade, existem regras simples que permitem calcular limites mais complicados com base em outros mais simples. Essas regras são mostradas abaixo:

Se \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) e \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) então temos:

(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)

(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)

(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)

(onde a propriedade (3) é válida enquanto \(b \ne 0 \).)

Exemplo: O limite

é calculado multiplicando primeiro o numerador e o denominador por \(\frac{1}{n^2}\), o que significa

porque \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).