Quelle est la limite d'une séquence?
Une séquence \(a_n\) correspond à un tableau infini ou une liste de nombres de la forme
\[a_1, a_2, a_3, ....\]où \(a_1, a_2, a_3, ...\) sont des nombres réels. Par exemple, la séquence
\[a_n = \frac{1}{n}\]est représenté par la liste
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]car ce sont les valeurs que prend l'expression \(a_n = \frac{1}{n}\) lorsque \(n\) prend les valeurs 1, 2, 3, ... etc.
Convergence des séquences
Un concept qui est généralement difficile à saisir est la convergence d'une séquence. L'idée est cependant très triviale: une séquence \(a_m\) converge vers une valeur \(a\) si les valeurs de la séquence se rapprochent de plus en plus de \(a\) (en fait elles se rapprochent autant que l'on veut) lorsque \(n\) s'approche de l'infini.
Par exemple: La séquence \(a_n = 1/n\) est telle que
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]car la valeur de \(1/n\) devient "aussi proche de zéro que nous le voulons" à mesure que \(n\) s'approche de l'infini.
Définition formelle de la convergence:
La séquence \(a_n \to a\) comme \(n \to \infty\), ou autrement dit \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) si
• Pour tous les \(\varepsilon >0\), il existe \(n_0\) tel que \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
Cela veut dire que peu importe à quel point vous voulez la séquence de \(a\), il y a toujours un point dans la séquence de telle sorte que tous les points plus loin que cela soient suffisamment proches de \(a\). En d'autres termes la convergence d'une séquence n'indique pas qu'un certain nombre de la séquence se rapproche suffisamment de la limite \(a\), mais au contraire, cela indique que si nous allons assez loin dans la séquence, toutes les valeurs de if seront suffisamment proches.
Algèbre des limites
Fonctionner avec des limites n'est pas aussi compliqué une fois que nous en connaissons certaines. En fait, il existe des règles simples qui permettent de calculer des limites plus compliquées à partir de limites plus simples. Ces règles sont présentées ci-dessous:
Si \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) et \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) alors nous avons:
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
(où la propriété (3) tient aussi longtemps que \(b \ne 0 \).)
Exemple: La limite
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]est calculé en multipliant d'abord le numérateur et le dénominateur par \(\frac{1}{n^2}\), ce qui signifie
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]parce que \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).