Créateur de graphes de fonctions exponentielles

Cet outil graphique vous permet de représenter graphiquement une fonction exponentielle ou de comparer le graphique de deux fonctions exponentielles. Ces fonctions exponentielles auront la forme:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

Pour obtenir le graphe, il vous suffit de spécifier les paramètres \(A_0\) et \(k\) pour une ou deux fonctions (selon que vous voulez tracer une fonction ou si vous voulez comparer deux fonctions).

Mais, comment trouvez-vous une fonction exponentielle à partir de points?

Techniquement, pour trouver les paramètres, vous devez résoudre le système d'équations suivant:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

La résolution de ce système pour \(A_0\) et \(k\) conduira à une solution unique, à condition que \(t_1 = \not t_2\).

En effet, en divisant les deux côtés des équations:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Afin de résoudre pour \(A_0\), nous remarquons à partir de la première équation que:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Comment représenter graphiquement une fonction exponentielle

Une fonction exponentielle de la forme spécifiée ci-dessus aura une forme exponentielle caractéristique, et sa forme générale dépendra du fait que le taux \(r\) est positif ou négatif.

Pour un taux positif \(r\) nous aurons croissance exponentielle , et pour un taux négatif \(r\) nous aurons décroissance exponentielle .

Quelles sont les principales caractéristiques des graphes exponentiels?

Ils ont des formes très spécifiques, car ils grandissent ou se décomposent (selon le signe de \(r\)) très rapidement. Il n'y a pas beaucoup de types de graphiques dans ce cas. Seulement décroissance rapide (exponentielle) ou croissance rapide (exponentielle).