En savoir plus sur les dérivés
Dans la deuxième partie de ce tutoriel, nous travaillerons sur d'autres exemples légèrement plus compliqués.
Exemple: Étant donné la fonction \(f(x) = x^3 + 2x+1\), calculez la dérivée \(f'(x)\) pour chaque point où elle est définie.
Solution: Remarquez que dans ce problème, ils ne nous donnent pas un point précis auquel calculer la dérivée. Nous devons calculer à un point arbitraire \(x_0\). Comment fait-on cela? Eh bien, nous suivons simplement la définition:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]et maintenant nous utilisons la définition de \(f(x)\). En fait, on obtient:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Maintenant, nous utilisons une petite astuce algébrique:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]Maintenant, faites attention. Nous utilisons cette petite astuce dans la dernière partie du calcul de la dérivée, et nous constatons que
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Comme vous pouvez le constater, nous pouvons annuler \(x-x_0\), et nous obtenons enfin
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]En d'autres termes, la fonction dérivée est \(f'(x) = 3x^2+2\). Vous voyez? C'est ce que je voulais dire quand j'ai dit que le dérivé est aussi une fonction. Dans ce cas, la dérivée est bien définie pour tous les \(x\in \mathbb R\).
Oui, il est vrai que nous avions besoin de quelques astuces pour calculer la dérivée. Alors, comment allez-vous le faire ?? Laissez-moi vous dire quelque chose, vous ne calculerez pas les dérivés à la main comme ça la plupart du temps. Dans le prochain tutoriel, je vais vous présenter quelques des outils qui facilitent le calcul des dérivés .
Alors, attendez le prochain.