О полиномиальных уравнениях

Используйте этот калькулятор, чтобы помочь вам решить полиномиальные уравнения, показывая все этапы процесса. Уравнение, которое вы предоставите, может иметь полиномиальные члены слева и справа от уравнения.

Например, вы можете предоставить уравнение типа 3x^3 - 2x = 1 + x, которое может быть получено из попытки найти пересечение графиков кубической и линейной функций. Подойдет любое полиномиальное уравнение с целыми или дробными коэффициентами или любое допустимое числовое выражение.

После того как полиномиальное уравнение введено в поле формы, нужно нажать кнопку "Вычислить", которая покажет все этапы процесса и решения.

Сразу оговорюсь, не все полиномиальные уравнения можно решить с помощью базовых инструментов. Не существует систематической формулы для решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше. Кроме того, мы имеем дело с дополнительной трудностью, связанной с тем, что решения полиномиального уравнения могут быть комплексными числами.

Что такое полиномиальное уравнение

Полиномиальное уравнение, проще говоря, это уравнение, в котором обе стороны содержат многочлены. Математически полиномиальное уравнение имеет вид:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

где \(p(x)\) и \(q(x)\) — полиномы. Например, \(3x+1 = x^2-2\) является полиномиальным уравнением, а \(\sin(3x+1) = x^2-2\) — нет.

Каковы этапы решения полиномиальных уравнений?

• Шаг 1: Определите уравнение, с которым вы хотите работать, четко указав члены в левой и правой части, и убедитесь, что они являются многочленами
• Шаг 2: Упростите каждую сторону настолько, насколько это возможно. Переведите все члены одной из сторон в другую (если обе стороны имеют члены)
• Шаг 3: Теперь у вас есть многочленное уравнение, которое задано равным нулю, поэтому нам нужно найти корни многочлена
• Шаг 4: Попробуем с возможными рациональными корнями, полиномиальным делением для сокращения и квадратичной формулой, как показано на рисунке калькулятор полиномиального нуля найти решения, если это возможно

Вы обнаружите, что решение полиномиальных уравнений, как и нахождение корней многочлена, далеко не во всех случаях является тривиальным. Конечно, некоторые конкретные примеры могут быть очень простыми, но когда экспонента многочленов велика, процесс может быть очень трудным или просто невозможным.

Являются ли квадратные уравнения также полиномиальными уравнениями?

Да, действительно! Квадратное уравнение - это уравнение с многочленом степени 2 в левой части и 0 (который тоже является многочленом) в правой части, поэтому оно подходит под определение.

Действительно, квадратные уравнения это самое лучшее, что мы можем решить с помощью простых инструментов. Хотя существуют формулы для кубических и квартовых уравнений, нет общей формулы для степени 5 и выше. Поэтому часто для нахождения численных приближений мы прибегаем к помощи компьютеров.

Кроме того, не только экспонента полинома может сделать уравнение трудноразрешимым, но и громоздкие коэффициенты полинома, безусловно, могут усложнить задачу.

Как графики многочленов связаны с полиномиальными уравнениями?

Есть разные способы увидеть это, но один из них - заметить, что, пытаясь найти пересечение различных многочленов, мы действительно решаем многочленное уравнение. Таким образом, существуют тесно связанные проблемы.

Пример: решение полиномиальных уравнений

Рассчитайте следующее полиномиальное уравнение: \(x^2 = x^3\)

Отвечать: Нам нужно решить \(x^2 = x^3\), поэтому мы передаем \(x^3\) другой стороне и получаем

\[ x^2 - x^3 = 0\]

и факторизация приводит к:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

Итак, есть два решения: \(x_1 = 0\) (кратность которого равна 2) и \(x_2 = 1\).

Пример: решение полиномиальных уравнений

Каковы решения следующего уравнения: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

Отвечать: Нам нужно решить следующее уравнение:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

Начальный Этап: В этом случае нам сначала нужно упростить данное уравнение \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), поместив все члены в одну сторону уравнения, чтобы мы получили:

Следовательно, после упрощения нам необходимо решить следующее полиномиальное уравнение порядка \(2\):

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

Обратите внимание, что степень данного многочлена равна \(\displaystyle deg(p) = 2\), его старший коэффициент — \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\), а его постоянный коэффициент — \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

Нам нужно решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В этом случае нам нужно решить уравнение \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), что означает, что соответствующие коэффициенты:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

Сначала мы вычислим дискриминант, чтобы оценить природу корней. Дискриминант вычисляется как:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

Поскольку в этом случае мы получаем дискриминант \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), который является положительным, мы знаем, что уравнение имеет два разных действительных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

итак, мы выяснили, что:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

В этом случае квадратное уравнение \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \) имеет два действительных корня, поэтому:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

тогда исходный полином факторизуется как \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), что завершает факторизацию.

Заключение : Решением полиномиального уравнения, найденного с помощью процесса факторизации, являются \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) и \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) .

Больше калькуляторов полиномов

Уравнения полиномов настолько естественно появляются в алгебре, что являются одной из самых важных тем в алгебре. Когда вы ищете точку пересечения двух пословицы вам необходимо решить полиномиальное уравнение это лишь одна ситуация из многих.

Простейшим случаем полиномиального уравнения является случай, когда вы решаете линейное уравнение , что действительно является тривиальным случаем. Все, что не линейно, потребует гораздо больше работы.

Решение полиномиального уравнения не является простым, особенно для высших значений степени многочленов . Действительно, существует определенная вероятность того, что вы не сможете найти все решения данного уравнения вручную (или любое решение, если на то пошло).

Лучшая ручная альтернатива заключается в группировке всех членов полинома на одной стороне, чтобы свести его к нахождение нулей многочлена . Затем, мы используем квадратичную формулу, когда это возможно, и пытаемся уменьшить порядок полинома на Полиномиальное деление и теорема факторов .