Калькулятор синтетических подстановок

Этот калькулятор поможет вам в процессе оценки полинома \(p(x)\) в заданной точке \(x = a\). Для работы калькулятора необходимо предоставить действительный многочлен любого порядка и действительное числовое выражение.

Например, вы можете захотеть оценить точку у многочлена x^5 + 10x^3 - 2x - 12, и точка, которую вы хотите оценить, равна 1/3.

Многочлен не обязательно упрощать, если он является действительным многочленом. Например, вы можете ввести x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 и калькулятор сначала упростить многочлен , перед проведением Синтетическое замещение .

После ввода действительного полинома и числового выражения, вы можете нажать кнопку "Вычислить", чтобы получить шаги показанного процесса, который состоит из применения соответствующих Синтетическое подразделение . .

Зачем использовать синтетическое замещение?

Синтетическая подстановка - это просто способ оценки значения по заданному многочлену. То есть, у вас есть значение \(x = a\) и многочлен \(p(x)\), и вы хотите оценить многочлен по данному значению, поэтому вы хотите получить значение \(p(a)\).

Теперь возникает вопрос, почему бы просто не подставить значение x = a в p(x)? Например, для полинома \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) и значения \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) нам нужно вычислить

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Хотя это и выполнимо, вышеприведенный расчет кажется, мягко говоря, не очень привлекательным. Итак, есть ли лучший, более простой способ оценить \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) через полином \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\)? Вы уверены, что есть?

Получается, что в силу теорема об остатке когда у вас есть многочлен \(p(x)\), и вы делите его на \(x-a\), то остаток от него равен \(p(a)\).

Волшебно, правда? Тогда все, что вам нужно сделать, это взять многочлен \(p(x)\), и выполнить деление многочлена на \(x-a\), используя Синтетическое подразделение (вы можете использовать длинное деление тоже, но это немного более громоздко)

Шаги для использования синтетического замещения

• Шаг 1: Определите многочлен p(x), с которым вы работаете, и значение x = a, при котором вы хотите оценить многочлен
• Шаг 2: Если степень многочлена равна нулю, то многочлен постоянен и p(a) также является этой постоянной
• Шаг 3: Предположим, что многочлен имеет степень 1 или выше. Примените синтетическое деление к делимому p(x) и делителю x - a
• Шаг 4: Как только вы закончите, посмотрите на последний столбец, и вы найдете числовой остаток. Тогда вы поймете, что p(a) равно этому значению

Итак, мы видим, что вычисление многочлена тесно связана с делением полиномов, и именно это утверждает теорема об остатке.

Применение синтетического замещения

Как мы уже говорили, очевидно, что мы можем использовать калькулятор для явного вычисления \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\), но это явно требует больших вычислительных затрат.

В инженерных и других приложениях очевидно, что мы хотим использовать как можно более эффективный процесс, и процесс синтетической замены сводится к горстке простых умножений и сложений, которые намного "дешевле", чем экспоненты, которые потребовались бы в противном случае

Как определить, когда использовать синтетическую оценку или просто подставить в многочлен?

• Шаг 1: Определите многочлен p(x), с которым вы работаете, и значение x = a, при котором вы хотите оценить многочлен
• Шаг 2: Посмотрите на степень p(x), для степеней 0 или 1 вы упростите вставку значения
• Шаг 3: Для степеней 2 и выше удобнее использовать синтетическую оценку

Удобство использования синтетического замещения становится очевидным по мере того, как степень полинома увеличивается, особенно для степени 4 и выше.

Советы для успеха

Постарайтесь следовать систематическому подходу, используя обычный табличный метод, чтобы освоить его. Избегание ошибок в знаках и при сложении рядов имеет решающее значение для получения конечного остатка без ошибок.

Пример: использование синтетического замещения

Рассмотрим многочлен : \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\), оценим его в точке \(x = \frac{1}{3}\)

Отвечать: Был предоставлен следующий многочлен: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), который необходимо оценить в точке \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) с помощью синтетической подстановки.

Для того чтобы провести синтетическую подстановку, нам нужно выполнить синтетическое деление : \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), и делитель \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), и найти остаток.

Обратите внимание, что степень дивиденда равна \(\displaystyle deg(p) = 5\), тогда как степень делителя равна \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(1\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножая член в поле деления на результат в столбце 1, получаем: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь, сложив значения в столбце 2, получаем: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Шаг 5: Умножая член в поле деления на результат в столбце 2, получаем: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь складывая значения в столбце 3, получаем: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Шаг 7: Умножая член в поле деления на результат в столбце 3, получаем: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Шаг 8: Теперь складывая значения в столбце 4, получаем: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Шаг 9: Умножая член в поле деления на результат в столбце 4, получаем: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Шаг 10: Теперь, сложив значения в столбце 5, получаем: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Шаг 11: Умножая член в поле деления на результат в столбце 5, получаем: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Шаг 12: Теперь складывая значения в столбце 6, получаем: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 6.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}\]

который завершает это вычисление, так как мы пришли к результату в последнем столбце, который содержит остаток.

Заключение: Поэтому мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) мы получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\), поэтому тогда мы заключаем, что \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\).

Пример: применение синтетического замещения

Является ли значение x = 1 корнем многочлена : \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)?

Отвечать: Синтетическая замена может быть применена, как в предыдущем примере, но в случае простого значения, такого как x = 1, мы можем просто вставить x = 1, и расчет будет очень простым:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

тогда x = 1 не является корнем.

Пример: более синтетические замены

Оцените p(1/2) для \(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\).

Отвечать: Теперь у нас есть \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), который нужно оценить в точке \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) с помощью синтетической подстановки.

Поэтому мы используем синтетическое деление на : \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), а делитель \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), и задача состоит в том, чтобы найти остаток.

Шаг 1: Поскольку делитель имеет степень 1, мы можем использовать метод синтетического деления. Решив \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\), мы непосредственно узнаем, что число, которое нужно записать в поле деления, равно: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Шаг 2: Теперь мы передаем непосредственно ведущий член \(1\) в строку результата:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Шаг 3: Умножая член в поле деления на результат в столбце 1, находим: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) и этот результат вставляется в строку результатов, столбец 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Шаг 4: Теперь складывая значения в столбце 2, находим: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Шаг 5: Умножая член в поле деления на результат в столбце 2, находим: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Шаг 6: Теперь складывая значения в столбце 3, находим: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Шаг 7: Умножая член в поле деления на результат в столбце 3, находим: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Шаг 8: Теперь складывая значения в столбце 4, находим: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Шаг 9: Умножая член в поле деления на результат в столбце 4, находим: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Шаг 10: Теперь складывая значения в столбце 5, находим: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) и этот результат вставляем в строку результатов, столбец 5.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}\]

Заключение: Поэтому мы заключаем, что для данного дивиденда \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) и делителя \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), и получаем, что остаток равен \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\), поэтому заключаем, что \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\).

Больше калькуляторов полиномов

Важность полиномиальные оценки и расчеты нельзя недооценивать. полиномиальные корни невероятно универсальны и находят множество применений в физике и технике. .

В этой статье мы увидели четкую связь с синтетическим замещением с обеих Синтетическое подразделение и Длинный дивизион , который замыкает круг, охватываемый Теорема Об Остатке которая, без сомнения, является прямым предшественником Фундаментальной теоремы алгебры.