Калькулятор тригонометрических уравнений
Инструкции: Используйте калькулятор для решения предоставленных вами тригонометрических уравнений, показывая все шаги. Пожалуйста, введите тригонометрическое уравнение, которое вы хотите выполнить, в поле ниже.
О калькуляторе тригонометрических уравнений
Этот калькулятор позволит вам решать тригонометрические уравнения, показывая все этапы пути. Все, что вам нужно сделать, это предоставить действительное тригонометрическое уравнение с неизвестным (x). Это может быть что-то простое, например "sin(x) = 1/2", или что-то более сложное, например "sin^2(x) = cos(x) + tan(x)".
Как только вы закончите вводить уравнение, просто нажмите "Решить", чтобы получить все подробности процесса поиска решений, если решения могут быть найдены.
Тригонометрические свойства и правила почти всегда позволяют свести большинство тригонометрических уравнений к более простым, поэтому этот тип уравнений часто приводит к решениям, но иногда может быть чрезвычайно громоздким.
Что такое тригонометрическое уравнение?
Тригонометрическое уравнение, проще говоря, представляет собой математическое уравнение где неизвестный x находится внутри тригонометрического выражения.
Например, следующее выражение представляет собой тригонометрическое уравнение:
\[\displaystyle \sin(x) = 1\]Почему? Просто потому, что x появляется внутри синуса тригонометрического выражения. Или например:
\[\displaystyle \tan(x) = x\]Эти два уравнения являются тригонометрическими, но разница между ними заключается в том, что для первого x появляется ТОЛЬКО внутри синуса, тогда как во втором x появляется внутри тригонометрической функции (тангенса), но также появляется снаружи. Обычно это затрудняет (или делает невозможным) решение уравнения.
Как решать тригонометрические уравнения
- Шаг 1: Убедитесь, что вы имеете дело с тригонометрическим уравнением. Нетригонометрические уравнения, вероятно, потребуют другого подхода
- Шаг 2: Убедитесь, что неизвестный x находится внутри тригонометрическое выражение , но x не появляется вне тригонометрического выражения. Если это так, то, скорее всего, вы не сможете решить уравнение элементарными методами
- Шаг 3: Проведите соответствующую замену, сначала выразив все тригонометрические функции, присутствующие в уравнении, в одном типе (обычно синусоидальном), а затем используйте замену, включающую синусоидальную
- Шаг 4: Если вам повезет и вы сделаете правильную замену, вы превратите исходное тригонометрическое уравнение в полиномиальное уравнение, которое нужно решить .
Одним из ключевых правил тригонометрии является использование умения выражать все тригонометрические функции через любую фиксированную тригонометрическую функцию. Например, мы можем записать косинус через синус:
\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]Тригонометрические замены
В этом случае вам следует использовать тригонометрические тождества и замены. Например, предположим, что вы хотите решить следующую задачу:
\[\displaystyle \sin x = \cos x \]Итак, мы знаем, что это тригонометрическое уравнение, и знаем, что можем записать косинус через синус, поэтому делаем следующее:
\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]Что теперь? Что ж, мы можем использовать замену: \(u = \sin x\), поэтому приведенное выше уравнение будет выглядеть так:
\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]который представляет собой рациональное уравнение , который с помощью простого алгебраические манипуляции означает, что нам нужно решить полиномиальное уравнение чтобы решить исходное тригонометрическое уравнение.
Применение тригонометрии
- Шаг 1: Все механическое: при производстве механических деталей круги и тригонометрия играют решающую роль
- Шаг 2: Анализ периодических функций: многие явления тесно связаны с периодичностью, моментом, когда в игру вступает тригонометрия
- Шаг 3: Продвинутая математика: математикам нравятся ряды Фурье и преобразования, которые играют решающую роль в спектральном анализе
Круги и вся их симметрия очень важны в реальной жизни, а тригонометрия — это язык, с помощью которого мы можем количественно оценить круги и их отношения. Решение тригонометрических уравнений находится в центре математики.
Зачем вам решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения имеют большое значение на практике, особенно в технике. Известные свойства, такие как Период и частота открыть полный спектр приложений.
Круглые конструкции играют решающую роль во всем механическом оборудовании, которое мы используем сегодня. Круги являются синонимом тригонометрии, а в их центре находятся тригонометрические уравнения.
Пример. решение простых тригонометрических уравнений
Решите: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
Решение:
Нам необходимо решить следующее уравнение тригонометрического уравнения:
\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]Получается следующее:
Непосредственным применением свойств обратной тригонометрической функции \( \arcsin(\cdot)\), а также свойств тригонометрической функции \( \sin\left(x\right)\) получаем, что
\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]
Следовательно, решение \(x\) для данного уравнения приводит к решениям \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\) для \(K_1, K_2\) произвольных целочисленных констант.
Больше калькуляторов уравнений
Наш тригонометрическое уравнение со ступенями пригодится при работе с уравнениями определенной структуры. Если вы не уверены в типе уравнения, с которым имеете дело, вы можете использовать наши общие решатель уравнений , который выяснит структуру данного уравнения и найдет подходящий подход.
Основная трудность при решении уравнений, которые не линейное уравнение или Полиномиальное уравнение заключается в том, что не существует конкретного маршрута, по которому следует идти, и нет никакой гарантии, что вы найдете решения.
Обычно стратегия состоит из упрощение выражений как можно больше, и после этого обычно оказывается, что это не земля, где вам нужно попробовать все, что кажется подходящим.
Естественно, идея состоит в том, чтобы попытаться свести уравнение к более простому уравнению, используя какую-то замену и многоэтапный процесс, в котором вы сначала находите решения вспомогательного решения, которое дает вам КАНДИДАТОВ к исходному уравнению. Вы хотите решить линейное уравнение или даже Квадратное уравнение , но, возможно, скидка, которую вы получите, будет немного менее щедрой.
