Калькулятор полиномиальных уравнений

Этот решатель полиномиальных уравнений поможет вам решить предоставленные вами полиномиальные уравнения, например, "3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0", что представляет собой простой Квадратное уравнение или полиномиальные уравнения более высокого порядка, такие как "x^5 - x^2 + 1 = 0" и т. д.

Если вы не добавите знак равенства "=" к предоставленному выражению, калькулятор автоматически добавит к нему знак " = 0", чтобы преобразовать его в уравнение.

После того, как будет предоставлено действительное полиномиальное уравнение, вы можете нажать кнопку "Рассчитать", после чего вам будет представлен пошаговый расчет решений уравнений.

Полиномиальное уравнение — это разновидность алгебраического уравнения, один из самых простых видов, запрещенный к использованию Линейные уравнения . Тот факт, что полиномиальные уравнения просты, не означает, что их ЛЕГКО решить, и на самом деле иногда их решение занимает довольно много времени, если их вообще можно решить.

Как решить полином?

Хотя многочлены являются простыми выражениями, решение полиномиальные уравнения может быть очень сложным, особенно для степень полинома больше 2.

Для квадратных уравнений решения просто находятся по квадратной формуле. Конечно, вы можете подумать, что запомнить формулы сложно, но, по крайней мере, формула есть.

Для кубической (степень 3) и четвертой степени (степень 4) можно использовать несколько очень умных уравнений, но их ни в коем случае нельзя легко использовать или запоминать. Для полиуравнений 5-й степени и выше формулы нет.

Это не значит, что мы не можем найти полиномиальные корни для этих уравнений , но формулы для него у нас нет, и формулы не существует (если вам интересно, такие выводы были одним из главных прорывов современной математики конца 18 века.

Шаги по поиску решений полиномиального уравнения

Существует ряд систематических шагов, которым вы можете следовать, чтобы иметь наилучшие шансы найти решения полиномиального уравнения, но имейте в виду, что вы можете в конечном итоге не найти никаких решений, особенно для уравнений более высокой степени.

• Шаг 1: Имейте в виду, что теоретически существуют \(n\) решения полиномиального уравнения степени \(n\). Но эти решения могут быть реальными или сложными, и после степени 4 для них не существует формулы
• Шаг 2: Попробуйте факторизовать полиномиальные члены. Поместите все члены в одну часть уравнения и найдите способ фактор полиномиального выражения . Путем факторизации можно попытаться найти решения для каждого фактора, сводя проблему к более низким степеням
• Шаг 3: Попробуйте сначала найти рациональные/целочисленные решения, используя Теорема о рациональном нуле . Это достигается путем нахождения целых коэффициентов постоянного члена и деления их на коэффициенты ведущего члена (того, который имеет наибольшую степень)
• Шаг 4: Используя этих рациональных кандидатов, вы тестируете их одного за другим (их может быть много) в надежде найти решения. Если вы случайно нашли \(n\) решения уравнения степени \(n\), то вы закончили
• Шаг 5: Если вы нашли один или несколько рациональных корней, но не все, вы строите умножение термов \(x - \alpha\), где \(\alpha\) — найденный рациональный корень. Умножьте эти члены, сформируйте многочлен, а затем РАЗДЕЛИТЕ многочлен исходного уравнения на это произведение, состоящее из членов \(x - \alpha\). Чтобы найти оставшиеся корни, нужно найти корни результата деления (которые будут иметь меньшую степень, чем исходный многочлен.

Звучит сложно, и, честно говоря, это так. Это трудоемкий процесс, который, скорее всего, потребует большого количества вычислений. Вот почему вам следует использовать калькулятор уравнений это покажет вам шаги, потому что вы сэкономите много времени и сведете к минимуму вероятность ошибки в расчете.

Как найти уравнение многочлена?

Решение полиномиальные уравнения это определенно не тривиальная задача. В целом вы не сможете это сделать, поскольку не существует общего уравнения для решения ВСЕХ многочленов. В силу Основной теоремы алгебры мы знаем, что существуют решения \(n\) полиномиального уравнения степени \(n\).

Как следует из названия, этот результат является большим достижением, поскольку он точно говорит нам, СКОЛЬКО решений мы ищем. Например, если у нас есть уравнение \(x^4 = x^6\), то мы имеем уравнение степени 6 (потому что это высшая степень полинома, которую можно найти там). Следовательно, по основной теореме алгебры мы ЗНАЕМ, что существует 6 решений.

Это может оказаться непросто, потому что не все решения будут реальными, некоторые могут быть сложными, а некоторые могут повторяться. Если бы мы имели, скажем, полином степени \(n\), то мы знали бы, что существуют решения \(n\), и еще одна примечательная вещь, заявленная в этой теореме, заключается в том, что полиномиальная часть может быть записана как

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

где \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) — решения. Но может случиться так, что не все решения разные. Фактически, у нас могло бы быть что-то вроде

\[ p = (x - \alpha)^n\]

что указывает на то, что все n решений одинаковы.

Каковы правила для полиномов?

• Шаг 1: Полиномы — это линейные комбинации выражений вида \(x^k\)
• Шаг 2: Нас интересуют многочлены с членами \(x^k\), только с целыми числами \(k\)
• Шаг 3: Полиномы — это простой тип функций, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Обратите внимание, что Полиномиальные операции не закрыты. Обратите внимание, что при сложении, вычитании и умножении полиномов результатом всегда будет полином. Но при делении многочленов результатом не обязательно будет многочлен, хотя деление и остаток будут многочленами. Проверить полиномиальный алгоритм длинного деления .

Что такое полиномиальное уравнение и как его решить?

Проще говоря, полиномиальное уравнение — это математическое уравнение, в котором члены в левой и правой части уравнения являются полиномами. Обычно в этих уравнениях в правой части стоит константа, но это не всегда так.

Например, \(x^2 + 3x = 2\) — это полиномиальное уравнение, поскольку члены в обеих частях уравнения являются полиномами (константа "2" — это полином нулевого порядка).

Но \(x^2 + \sin(x) = 2x\) НЕ является полиномиальным уравнением, поскольку члены в левой части не являются полиномами (из-за присутствия члена \(\sin(x)\).

Пример: вычисление решений полиномиальных уравнений

Вычислите решение: \(x^2 = x^4\)

Решение:

Нам необходимо решить следующее заданное полиномиальное уравнение:

\[x^2=x^4\]

Уравнение, которое нам нужно решить, имеет только одну переменную — \(x\), поэтому цель состоит в том, чтобы решить ее.

Обратите внимание, что степень данного многочлена равна \(\displaystyle deg(p) = 4\), его старший коэффициент — \(\displaystyle a_{4} = -1\), а его постоянный коэффициент — \(\displaystyle a_0 = 0\).

Поскольку первый член с ненулевым коэффициентом в \(p(x)\) равен \(x^2\), мы можем факторизовать этот член, чтобы получить:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

но член в скобках имеет степень 2, и нам нужно посмотреть, можно ли его дополнительно факторизовать.

Нам нужно решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle -x^2+1=0\).

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В этом случае нам нужно решить уравнение \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), что означает, что соответствующие коэффициенты:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Сначала мы вычислим дискриминант, чтобы оценить природу корней. Дискриминант вычисляется как:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Поскольку в этом случае мы получаем дискриминант \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), который является положительным, мы знаем, что уравнение имеет два разных действительных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

итак, мы выяснили, что:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

В этом случае квадратное уравнение \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \) имеет два действительных корня, поэтому:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

тогда исходный полином факторизуется как \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), что завершает факторизацию.

Заключение : Таким образом, окончательная факторизация, которую мы получаем, такова:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Корнями, найденными с помощью процесса факторизации, являются \(0\), \(1\) и \(-1\) .

Другие полезные калькуляторы уравнений

Решатели уравнений действительно важны в математике, поскольку уравнения обычно позволяют нам выразить связь между связанными величинами. Умение решать уравнения откроет некоторые особые точки, которые удовлетворяют определенному равенству.

Создать общие калькуляторы сложно, поскольку разные структуры уравнений потребуют разных стратегий решения. А калькулятор тригонометрических уравнений обычно использует взаимосвязь между различными тригонометрическими функциями для поиска решений так же, как и показательные уравнения и логарифмические уравнения будут иметь свои собственные подходы, основанные на ключевых свойствах экспонент и логарифмов соответственно. .

Большинство задач алгебры можно представить, поэтому, решая уравнения, мы находим ключ к этим задачам алгебры, те особые точки, которые удовлетворяют определенным интересующим нас свойствам.

Решать уравнения вообще непросто. Вы можете использовать определенные полезные стратегии, такие как перестановка уравнений, факторизация или упрощение выражений . Но в конечном итоге каждый тип уравнения даст вам тип структуры, которая откроет путь к его решению

Например, для радикальных уравнений вам наверняка понадобится найти член, имеющий корень, и использовать степень, чтобы исключить корень, превратив его в полиномиальное уравнение. Но этот путь, который идеально подходит для радикального уравнения, может не работать, например, для тригонометрического уравнения.