Алгебраические уравнения

Без сомнения, уравнения являются одним из основных элементов алгебры, на которые следует обратить внимание. Этот калькулятор позволит вам решить предоставленное вами уравнение алгебры, линейное или нелинейное

Все, что вам нужно сделать, это ввести или вставить уравнение, которое вы хотите решить и нажмите кнопку "Решить", чтобы просмотреть все этапы показанного решения.

Сразу оговорюсь: не все алгебраические уравнения решаются легко, а некоторые из них вообще не решаются. Конечно, несколько простых примеров, таких как Линейные уравнения или квадратные уравнения довольно просты, но это все.

Все, что не соответствует этим категориям, просто не будет иметь стандартного/простого метода решения. Это не означает, что вы НЕ МОЖЕТЕ их решить, это просто означает, что для этого не существует "дорожной карты".

Что такое уравнение алгебры?

Уравнение алгебры, также известное как алгебраическое уравнение, представляет собой общий термин, обозначающий различные виды математических уравнений, которые вы встретите при работе с алгеброй.

Они будут варьироваться от тривиальных линейных уравнений, таких как

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

к более сложным уравнениям, таким как

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

к уравнениям, которые не могут быть решены элементарными методами, такими как

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

Каковы основные уравнения/формулы алгебры?

Их много, возможно, слишком много, чтобы упоминать:

• Шаг 1: У нас есть различные типы уравнений, такие как линейные, квадратные и полиномиальные уравнения
• Шаг 2: Помимо уравнений (которым удовлетворяют только некоторые значения x), у нас есть разные алгебраические тождества, которые справедливы для всех значений
• Шаг 3: Основными тождествами алгебры являются биномиальное разложение (a+b) ² = а ² + 2аб + б ² , разность квадратов: a ² - б ² = (a+b)(ab), и это лишь некоторые из них

Большая разница между алгебраическими уравнениями и тождествами заключается в том, что тождества — это выражения, которые справедливы для всех подставляемых вами значений, тогда как уравнения справедливы только для нескольких выбранных значений. Обычно вы ИСПОЛЬЗУЕТЕ тождества для РЕШЕНИЯ уравнений.

Что такое основное уравнение алгебры?

Существует множество типов наиболее основных алгебраических уравнений — это линейное уравнение. Например, для одной переменной линейное уравнение это:

\[\displaystyle a x + b = c \]

Обратите внимание, что левая часть соответствует \(ax + b\), которая является линейной функцией. Этот тип функции имеет строгую геометрическую интерпретацию, поскольку он тесно связан с геометрической линией, где \(a\) соответствует склон и \(b\) для Y-перехват .

Как можно использовать алгебраические уравнения?

• Шаг 1: Алгебраические уравнения инкапсулируют отношения между переменными. Решение уравнения обычно приводит к очень сингулярной точке взаимодействия элементов
• Шаг 2: Используя уравнения, мы получаем количественную оценку вещей и можем говорить конкретно о переменных
• Шаг 3: Уравнения обычно являются ключом к великим вещам: точкам равновесия, точкам максимального выигрыша, точкам наименьшего сопротивления и т. д.

Поэтому мы хотим иметь уравнения. Одна маленькая проблема заключается в том, что уравнения бывает трудно решить. Использование Решатель уравнений с шагами может оказаться решающим при решении более сложных уравнений, которые мы неизбежно встретим.

Какое уравнение в алгебре самое популярное?

Зависит от того, кто спрашивает. Для некоторых наиболее популярным уравнением является то самое простое уравнение, которым, без сомнения, является линейное уравнение. Но если вы спросите математика, он скажет вам другое.

Некоторые пуристы скажут вам, что это самая популярная формула в алгебре:

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

потому что он использует ВСЕ наиболее важные математические символы. Точки зрения, да?

Пример: линейные уравнения

Решите следующее линейное уравнение: \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

Отвечать: Нам необходимо решить следующее заданное линейное уравнение:

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

В линейном уравнении есть две переменные: \(x\) и \(x\), поэтому цель состоит в том, чтобы найти \(x\).

Поместив \(y\) слева и \(x\) и константу справа, мы получим

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

Теперь, решая \(y\), разделив обе части уравнения на \(3\), получаем следующее:

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

Следовательно, решение \(x\) для данного линейного уравнения приводит к \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\).

Пример: квадратные уравнения

Решите следующее квадратное уравнение: \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

Отвечать: Нам необходимо решить следующее заданное полиномиальное уравнение:

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

Уравнение, которое нам нужно решить, имеет только одну переменную — \(x\), поэтому цель состоит в том, чтобы решить ее.

Обратите внимание, что степень данного многочлена равна \(\displaystyle deg(p) = 2\), его старший коэффициент — \(\displaystyle a_{2} = 2\), а его постоянный коэффициент — \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\).

Нам нужно решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\).

Использование квадратичной формулы

Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) корни вычисляются по следующей формуле:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В этом случае нам нужно решить уравнение \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\), что означает, что соответствующие коэффициенты:

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

Сначала мы вычислим дискриминант, чтобы оценить природу корней. Дискриминант вычисляется как:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

Поскольку в этом случае мы получаем дискриминант \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\), который является положительным, мы знаем, что уравнение имеет два разных действительных корня.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для корней, получаем:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

итак, мы выяснили, что:

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

В этом случае квадратное уравнение \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \) имеет два действительных корня, поэтому:

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

тогда исходный полином факторизуется как \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \), что завершает факторизацию.

Заключение : Таким образом, окончательная факторизация, которую мы получаем, такова:

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

Корнями, найденными с помощью процесса факторизации, являются \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) и \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) .

Следовательно, решение \(x\) для данного полиномиального уравнения приводит к решениям \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) с использованием методов факторизации.

Другие полезные калькуляторы уравнений

Линейные уравнения, безусловно, самые простые. Вас ждет гораздо больше трудностей решение тригонометрических уравнений или любое нелинейное уравнение, не являющееся Полиномиальное уравнение , хотя полиномиальные уравнения по-прежнему очень сложно решить.

Вы узнаете, что разные типы уравнений подчиняются разным правилам. Вы можете использовать, например, калькулятор экспоненциального уравнения таким образом, чтобы использовать свойства показателей степени для решения конкретных уравнений.

То же самое произойдет, если вы попытаетесь решить логарифмическое уравнение , где определенные структуры логарифмической функции облегчат процесс решения уравнений.