Neste tutorial, vamos abordar o tópico de Testes não paramétricos . Veja abaixo uma lista de exemplos de problemas relevantes, com soluções passo a passo.
Questão 1: Um pesquisador médico acredita que o número de infecções de ouvido em nadadores pode ser reduzido se o os nadadores usam protetores de ouvido. Uma amostra de dez pessoas foi obtida, e o número de alterações de ouvido durante um período de quatro meses foi registrado. Durante os primeiros dois meses, os nadadores não usaram os protetores de ouvido; durante os segundos dois meses, eles fizeram. No início do segundo período de dois meses, cada nadador foi examinado para se certificar de que nenhuma infecção estava presente. Os dados são categorizados abaixo. Em \(\alpha = 0.05\), o pesquisador pode concluir que o uso de protetores de ouvido afetados o número de infecções de ouvido?
Solução: Precisamos testar as hipóteses
\[\begin{aligned} & {{H}_{0}}:\text{ ear infections are the same with or without the ear plugs} \\ &{{H}_{A}}:\text{ swimmers get less ear infections with ear plugs} \\ \end{aligned}\]
Usamos um teste de sinal. Usamos Statdisk para obter a seguinte saída:
A estatística \(x\) é igual a 2 (o número de sinais menos frequente). O valor crítico é 1. Como \(x\) não é menor ou igual ao valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não temos evidências suficientes para apoiar a alegação de que o número de infecções de ouvido em nadadores pode ser reduzido se os nadadores usarem protetores de ouvido.
Questão 2: A pesquisa indica que as pessoas que se voluntariam para participar de estudos de pesquisa tendem a ter mais inteligência do que os não voluntários. Para testar esse fenômeno, um pesquisador obtém uma amostra de 200 alunos do ensino médio. Os alunos recebem uma descrição de um estudo de pesquisa psicológica e são questionados se se ofereceriam para participar. O pesquisador também obtém uma pontuação de QI para cada aluno e os classifica em grupos de QI alto, médio e baixo. Os dados a seguir indicam uma relação significativa entre QI e voluntariado? Teste no nível de significância de 0,05.
Solução: A tabela a seguir mostra a tabela de contingência correspondente:
|
Observado |
Alto |
Médio |
Baixo |
Total |
|
Voluntário |
43 |
73 |
34 |
150 |
|
Não voluntário |
7 |
27 |
16 |
50 |
|
Total |
50 |
100 |
50 |
200 |
Estamos interessados em testar as seguintes hipóteses nulas e alternativas:
\[\begin{aligned}{{H}_{0}}:\,\,\, \text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are independent} \\ {{H}_{A}}:\,\,\,\text{Volunteer Status}\text{ and }\text {IQ}\text{ are NOT independent} \\ \end{aligned}\]
A partir da tabela acima, calculamos a tabela com os valores esperados
|
Esperado |
Alto |
Médio |
Baixo |
|
Voluntário |
37,5 |
75 |
37,5 |
|
Não voluntário |
12,5 |
25 |
12,5 |
A forma como essas frequências esperadas são calculadas é mostrada abaixo:
\[{E}_{{1},{1}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5},\,\,\,\, {E}_{{1},{2}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{150} \times {100}}{{200}}={75},\,\,\,\, {E}_{{1},{3}}= \frac{ {R}_{1} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{150} \times {50}}{{200}}={37.5}\]
\[,\,\,\,\, {E}_{{2},{1}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{1} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5},\,\,\,\, {E}_{{2},{2}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{2} }{T}= \frac{{50} \times {100}}{{200}}={25},\,\,\,\, {E}_{{2},{3}}= \frac{ {R}_{2} \times {C}_{3} }{T}= \frac{{50} \times {50}}{{200}}={12.5}\]
Finalmente, usamos a fórmula \(\frac{{{\left( O-E \right)}^{2}}}{E}\) para obter
|
(fo - fe) ² / fe |
Alto |
Médio |
Baixo |
|
Voluntário |
0,8067 |
0,0533 |
0,3267 |
|
Não voluntário |
2,42 |
0,16 |
0,98 |
Os cálculos necessários são mostrados abaixo:
\[\frac{ {\left( {43}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.8067},\,\,\,\, \frac{ {\left( {73}-{75} \right)}^{2} }{{75}} ={0.0533},\,\,\,\, \frac{ {\left( {34}-{37.5} \right)}^{2} }{{37.5}} ={0.3267},\,\,\,\, \frac{ {\left( {7}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={2.42}\]
\[,\,\,\,\, \frac{ {\left( {27}-{25} \right)}^{2} }{{25}} ={0.16},\,\,\,\, \frac{ {\left( {16}-{12.5} \right)}^{2} }{{12.5}} ={0.98}\]
Portanto, o valor das estatísticas de qui-quadrado é
\[{{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}={0.8067} + {0.0533} + {0.3267} + {2.42} + {0.16} + {0.98} = 4.747\]
O valor crítico de Qui-quadrado para \(\alpha =0.05\) e \(\left( 3-1 \right)\times \left( 2-1 \right)=2\) graus de liberdade é \(\chi _{C}^{2}= {5.991}\). Uma vez que \({{\chi }^{2}}=\sum{\frac{{{\left( {{O}_{ij}}-{{E}_{ij}} \right)}^{2}}}{{{E}_{ij}}}}= {4.747}\) <\(\chi _{C}^{2}= {5.991}\), falhamos em rejeitar a hipótese nula, o que significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula de independência.
Questão 3: Listados abaixo estão os anos que presidentes dos Estados Unidos, papas desde 1690 e monarcas britânicos viveram depois de serem empossados, eleitos ou coroados. No momento da redação, o último presidente é Gerald Ford e o último papa é João Paulo II. Os tempos são baseados em dados de Computer Interactive Data Analysis, de Lunn e McNeil, John Wiley & Son. Use um nível de significância de 0,05 para testar a afirmação de que as 2 amostras de dados de longevidade de papas e monarcas são de populações com a mesma mediana.
Presidentes
10 29 26 28 15 23 17 25 0 20 4 1 24 16 12 4 10 17 16 0 7 24 12 4
18 21 11 2 9 36 12 28 3 16 9 25 23 32
Papas
2 9 21 3 6 10 18 11 6 25 23 6 2 15 32 25 11 8 17 19 5 15 0 26
Monarcas 17 6 13 12 13 33 59 10 7 63 9 25 36 15
Solução: Precisamos usar um teste de Wilcoxon para avaliar uma afirmação de que as 2, são de usuários com a mesma mediana. Os seguintes resultados são selecionados:
|
Wilcoxon - Teste Mann / Whitney |
||||
|
n |
soma das classificações |
|||
|
24 |
416 |
Papas |
||
|
14 |
325 |
Monarcas |
||
|
38 |
741 |
total |
||
|
468,00 |
valor esperado |
|||
|
33,00 |
desvio padrão |
|||
|
-1,56 |
z, corrigido para empates |
|||
|
0,1186 |
valor p (bicaudal) |
|||
|
Não. |
Rótulo |
Dados |
Classificação |
|
|
1 |
Papas |
2 |
2,5 |
|
|
2 |
Papas |
9 |
12,5 |
|
|
3 |
Papas |
21 |
28 |
|
|
4 |
Papas |
3 |
4 |
|
|
5 |
Papas |
6 |
7,5 |
|
|
6 |
Papas |
10 |
14,5 |
|
|
7 |
Papas |
18 |
26 |
|
|
8 |
Papas |
11 |
16,5 |
|
|
9 |
Papas |
6 |
7,5 |
|
|
10 |
Papas |
25 |
31 |
|
|
11 |
Papas |
23 |
29 |
|
|
12 |
Papas |
6 |
7,5 |
|
|
13 |
Papas |
2 |
2,5 |
|
|
14 |
Papas |
15 |
22 |
|
|
15 |
Papas |
32 |
34 |
|
|
16 |
Papas |
25 |
31 |
|
|
17 |
Papas |
11 |
16,5 |
|
|
18 |
Papas |
8 |
11 |
|
|
19 |
Papas |
17 |
24,5 |
|
|
20 |
Papas |
19 |
27 |
|
|
21 |
Papas |
5 |
5 |
|
|
22 |
Papas |
15 |
22 |
|
|
23 |
Papas |
0 |
1 |
|
|
24 |
Papas |
26 |
33 |
|
|
25 |
Monarcas |
17 |
24,5 |
|
|
26 |
Monarcas |
6 |
7,5 |
|
|
27 |
Monarcas |
13 |
19,5 |
|
|
28 |
Monarcas |
12 |
18 |
|
|
29 |
Monarcas |
13 |
19,5 |
|
|
30 |
Monarcas |
33 |
35 |
|
|
31 |
Monarcas |
59 |
37 |
|
|
32 |
Monarcas |
10 |
14,5 |
|
|
33 |
Monarcas |
7 |
10 |
|
|
34 |
Monarcas |
63 |
38 |
|
|
35 |
Monarcas |
9 |
12,5 |
|
|
36 |
Monarcas |
25 |
31 |
|
|
37 |
Monarcas |
36 |
36 |
|
|
38 |
Monarcas |
15 |
22 |
|
Uma vez que estamos comparando dois grupos independentes (papas e monarcas), podemos usar Teste de soma de postos de Wilcoxon.
o hipótese nula testado é
H0: As duas amostras são de populações com a mesma mediana.
o hipótese alternativa é
H1: As duas amostras são de populações com medianas diferentes.
Nível de significância = 0,05
Estatística de teste: Os valores observados dos resultados da amostra combinada são classificados do menor ao maior. Após a obtenção das classificações, as amostras são separadas e a soma das classificações é calculada para cada uma.
o Estatística de teste usado é
\[Z=\frac{{{T}_{A}}-\frac{{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{{{n}_{1}}{{n}_{2}}\left( {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+1 \right)}{12}}}\]
,
onde T UMA é a soma das classificações da amostra menor. Aqui n 1 = 24, n 2 = 14, T UMA = 416.
Therefore,\[Z=\frac{416-\frac{24\left( 14+24+1 \right)}{2}}{\sqrt{\frac{14*24\left( 14+24+1 \right)}{12}}}=-1.57\]
Critérios de rejeição: Rejeite a hipótese nula, se o valor absoluto da estatística de teste for maior que o valor crítico no nível de significância de 0,05.
Valor crítico inferior = -1,96
Valor crítico superior = 1,96
Conclusão: Falha ao rejeitar a hipótese nula, pois o valor absoluto da estatística de teste é menor que o valor crítico. A amostra não fornece evidências suficientes para rejeitar a alegação de que as duas amostras são de populações com a mesma mediana.
Caso você tenha alguma sugestão, ou gostaria de relatar um solucionador / calculadora quebrado, por favor, não hesite em Entre em contato .