Questão 1: Um tipo de bateria de lítio está sendo avaliado quanto à sua duração. O gerente de produção selecionou uma amostra aleatória de 10 baterias e registrou as seguintes vidas úteis em anos: {3,25, 4,0, 3,1, 3,7, 3,5, 4,2, 4,75, 2,3, 5,5, 3,7}. Responda o seguinte assumindo que a população é normal.

uma. Qual é a média da amostra?

b. Qual é o desvio padrão da amostra?

c. Explique como a média da amostra está relacionada à média da população.

d. Supondo que você não saiba o desvio padrão da população, construa um

Intervalo de confiança de 90% para $mu$.

e. Suponha que você saiba que o desvio padrão da população é $\sigma$ = 0,7; construir um intervalo de confiança de 90% para $\sigma$. (Mostrar fórmula ou comando da calculadora)

f. Interprete o intervalo de confiança na parte e.

Solução: (a) A seguinte tabela é fornecida

A média da amostra é 3,8

(b) O desvio padrão da amostra é 0,891.

(c) A média da amostra é a estimativa pontual da média da população.

(d) O desvio padrão da população é desconhecido, então vamos usar a estatística t. O intervalo de confiança de 90% é dado por

$$CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$$

Neste caso, temos ${{t}_{\alpha /2}}$ é o valor t-crítico de duas caudas, para $\alpha =0.10$ e $n-1 = 9$ graus de liberdade. Portanto, obtemos que

$$CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)$$

A interpretação é que temos 90% de certeza de que a média real da população $\mu$ está contida no intervalo $\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)$.

(d) O desvio padrão da população está disponível para, de modo que a distribuição normal pode ser usada. Portanto, obtemos que o intervalo de confiança de 90% é dado

$$CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

onde ${{z}_{\alpha /2}}$ corresponde ao valor crítico z de duas caudas para $\alpha =0.10$. Portanto, descobrimos que

$$CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)$$

(e) A interpretação é que estamos 90% confiantes de que a média real da população $\mu$ está contida no intervalo (3.4359, 4.1641).

Questão 2: Uma amostra aleatória de 56 lâmpadas fluorescentes tem vida média de 645 horas com desvio padrão de 31 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a população média da população.

Solução: O intervalo de confiança de 95% para a média da população é dado por

$$CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)$$

$$=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)$$

Questão 3: Uma amostra aleatória simples deve ser retirada de uma população de 1200. Para ter 90% de confiança de que o erro de amostragem na estimativa de $p$ não é maior que 0,03, qual tamanho de amostra será necessário?

Solução: O intervalo de confiança de 90% é dado por

$$CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)$$

onde ${{z}_{\alpha /2}}=1.645$. Portanto, a margem de erro é

$$MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Queremos que a margem de erro não seja superior a 0,03. Isso significa que

$$1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237$$

$$\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}$$

Mas $\hat{p}$ assume valores entre 0 e 1, então o valor máximo de $\hat{p}(1-\hat{p})$ é alcançado quando $\hat{p}=\frac{1}{2}$. Portanto, a condição que precisamos satisfazer é

$$n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674$$

Isso significa que o tamanho da amostra deve ser de pelo menos $n=752$.