Experimentos Multinomiais
Problemas de amostra de experimentos multinomiais
Questão 1: O gerente de um Supermercado Farmer Jack gostaria de saber se há preferência pelo dia da semana em que os clientes fazem suas compras. Uma amostra de 420 famílias revelou o seguinte. No nível de significância de 0,05, há diferença na proporção de clientes que preferem cada dia da semana? Teste do qui quadrado. Bondade de ajuste Freqüências esperadas iguais.
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Dia da semana |
Número de pessoas |
|
Monday
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20
|
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Tuesday
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30
|
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Wednesday
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20
|
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Thursday
|
60
|
|
Friday
|
80
|
|
Saturday
|
130
|
|
Sunday
|
80
|
Solução: A seguinte hipótese nula precisa ser testada:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
A primeira tarefa é construir a tabela com os valores esperados. Com base nos dados fornecidos, encontramos:
|
Categoria |
Observado |
Esperado |
(fo - fe) ² / fe |
|
Segunda-feira |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
terça |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
Quarta feira |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
Quinta feira |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
Sexta-feira |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
sábado |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81,6667 |
|
domingo |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
Soma = |
163,3333 |
Isso significa que a estatística do qui-quadrado é calculada como
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
O valor crítico para \(\alpha =0.05\) e \(df = 6\) é dado por
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
e o valor p correspondente é
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Como o valor p é menor que o nível de significância \(\alpha = {0.05}\), então rejeitamos \({{H}_{0}}\). Isso significa que temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula de proporções iguais, ao nível de significância de 0,05.
Questão 2: A pesquisa demonstrou que as pessoas tendem a se sentir atraídas por outras que são semelhantes a elas. Um estudo demonstrou que os indivíduos são desproporcionalmente mais propensos a se casar com aqueles com sobrenomes que começam com a mesma última letra do seu próprio (Jones, Pelham, Carvallo, & Mirenberg, 2004). Os pesquisadores começaram examinando os registros de casamento e registrando o sobrenome de cada noivo e o nome de solteira de cada noiva. A partir desses registros, é possível calcular a probabilidade de coincidir aleatoriamente uma noiva e um noivo cujos sobrenomes começam com a mesma letra. Suponha que essa probabilidade seja de apenas 6,5%. Em seguida, uma amostra de n 200 casais é selecionada e é contado o número que compartilharam a mesma inicial da última vez na época do casamento. As frequências observadas resultantes são as seguintes:
Essas datas indicam que o número de casais com a mesma última inicial é significativamente diferente do que seria esperado se os casais fossem pareados aleatoriamente? Teste com a = 0,05.
Solução: A seguinte hipótese nula precisa ser testada:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
A primeira tarefa é construir a tabela com os valores esperados. Com base nos dados fornecidos, encontramos:
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Categoria |
Observado |
Esperado |
(fo - fe) ² / fe |
|
Mesma inicial |
19 |
200 * 0,065 = 13 |
2.7692 |
|
Iniciais diferentes |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0,1925 |
|
Soma = |
2,9617 |
Usando essas informações, obtemos
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
O valor crítico para \(\alpha =0.05\) e \(df = 1\) é dado por
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
e o valor p correspondente é
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Uma vez que o valor p é maior do que o nível de significância \(\alpha = {0.05}\), então não rejeitamos \({{H}_{0}}\). Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula das proporções dadas, ao nível de significância de 0,05.