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A ideia por trás do conceito de meia-vida é descobrir quanto tempo leva para uma função diminuir seu valor pela metade.

Este conceito é fortemente motivado por decaimento radioativo , em que o material radioativo decai exponencialmente, e há a propriedade de que, para cada material radioativo específico, seu conteúdo seja reduzido pela metade a cada certo número de anos. O período de tempo é a meia-vida

Em geral, se considerarmos uma função de decaimento exponencial:

\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]

queremos ver que \(f(0) = A_0\), e queremos encontrar \(h\) para que \(f(h) = A_0/2\). Para tanto, notamos que

\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]

E se você tiver que encontrar a função exponencial de dois pontos pelos quais ela passa?

Nesse caso, precisaríamos resolver:

\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]

e para resolver \(A\) e \(k\), e então aplicar diretamente a fórmula acima para encontrar a meia-vida \(h\).

Como você calcula a meia-vida?

A meia-vida é calculada algebricamente descobrindo quanto tempo leva para uma função diminuir pela metade, como mostrado na seção acima. Para a maioria das funções, o tempo necessário para que a função diminua pela metade depende do ponto de partida.

Porém, para funções com decaimento exponencial, o tempo que a função leva para reduzir seu valor pela metade é independente do ponto de partida.

Como você calcula a decadência usando meia-vida?

Naturalmente, a taxa de decaimento e uma função de decaimento exponencial estão estreitamente relacionadas à meia-vida. De fato, suponha que a meia-vida \(h\) seja conhecida e \(A_0\) seja a quantidade inicial (em \(t = 0\)). Então, a função de decaimento exponencial pode ser escrita da seguinte forma:

\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]