Come calcolare i punteggi Z
Supponiamo che \(X\) abbia una distribuzione normale, con media \(\mu\) e deviazione standard \(\sigma\). Questo è tipicamente scritto come
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Poi il Punteggio Z associato a \(X\) è definito come
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Esempio: Considera la variabile casuale \(X\), che come distribuzione normale, con media \(\mu = 34 \) e deviazione standard \(\sigma = 4\). Calcola il punteggio z di \(X = 41\).
Risposta :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]Cosa rappresenta il punteggio z?
Lo z-score indica la distanza della variabile casuale \(X\) dalla sua media \(\mu\). Questa misura non è arbitraria, indica quante deviazioni standard il valore di \(X\) è lontano da \(\mu\). In altre parole, uno z-score di 1,75 indica che il valore di \(X\) è di 1,75 deviazioni standard dalla sua media. Poiché lo z-score è positivo, significa che il il valore di \(X\) è 1,75 deviazioni standard a destra della sua media, per essere più precisi.
Applicazioni di Z-score
Esempio di applicazione: Peter ha sostenuto l'esame di finanza la scorsa settimana e ha ottenuto 89/100. La media per la sua classe era 77, con una deviazione standard di 15. Jenna ha fatto anche il suo test di matematica la scorsa settimana, e ha ottenuto 84/100. La media per la sua classe era 75, con una deviazione standard di 5. Loro stavano discutendo su chi ha fatto meglio, chi secondo te ha fatto meglio rispetto alla loro classe?
Risposta : Dobbiamo usare z-score. Per Peter abbiamo
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]D'altra parte, per Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]Il punteggio z associato al test del punteggio di Jenna è superiore al test del punteggio z associato al test del punteggio di Peter, il che significa che Jenna ha fatto meglio di Peter, rispetto alla sua classe.