Sequenze geometriche
Un Sequenza Geometrica è una sequenza di numeri che ha la proprietà che il rapporto tra due elementi consecutivi è costante, pari ad un certo valore \(r\). Questo valore è noto anche come rapporto comune.
In un problema della vita reale, ti verrà dato un valore iniziale \(a\) e il rapporto costante \(r\) che viene preservato tra valori consecutivi nella sequenza. Il tuo compito sarà quello calcolare la sequenza geometrica utilizzando queste informazioni fornite.
Come risolvo una sequenza geometrica?
Supponiamo che il primo termine sia \(a\). Quindi, il termine successivo è \(a r\) e il successivo è \(ar^2\). E così via.
Quindi, in altre parole, si inizia con il primo termine \(a\) e il termine successivo si trova sempre moltiplicando il termine precedente per \(r\).
Quindi il primo termine è \(a_1 = a\).
Il secondo termine è \(a_2 = a r\).
Il terzo termine è \(a_3 = a r^2\).
Formula di sequenza geometrica
Osservando l'esempio sopra, ciò che accade è che il valore iniziale \(a\) viene moltiplicato per un \(r\) extra ad ogni passaggio. Pertanto il generale n th il termine è
\[\large a_n = a r^{n-1}\]Ciò significa che andando avanti di passi \(n\), otteniamo che il numero corrispondente nella sequenza è \( a_n = a r^{n-1}\). Questa è la formula per il modello della serie geometrica e tutto ciò che serve è inserire i valori di \(a\) e \(n\) nella formula.
Quindi, come trovi l'ennesimo termine in una sequenza geometrica?
Riassumendo, per trovare l'ennesimo termine in una sequenza geometrica, sono necessarie due informazioni per definire una sequenza geometrica: sono necessari il termine iniziale \(a\) e il rapporto costante \(r\).
Quindi, i termini consecutivi della sequenza geometrica si ottengono moltiplicando il termine precedente per \(r\). Ad esempio 3, 6, 12, 24, ... è una sequenza geometrica poiché il valore iniziale è \(a = 3\) e quindi ogni valore successivo si ottiene moltiplicando il valore precedente per \(r = 2\).
Inoltre, ad esempio, puoi chiederti qual è la regola per 1 2 4 8 16 e se è una sequenza geometrica. Bene, abbiamo che il valore iniziale è \(a = 1\) e ogni valore successivo si ottiene moltiplicando il valore precedente per \(r = 2\).
ESEMPIO 1: Esempio di sequenza geometrica
Trova il sesto termine di una sequenza geometrica con il termine iniziale \(10\) e \(r = 1/2\).
Risposta:
Allora, come stai? calcolare una sequenza geometrica ? Sulla base delle informazioni fornite, abbiamo informazioni sufficienti per definire la sequenza geometrica. Infatti abbiamo il primo termine \(a = 10\), e abbiamo il rapporto costante \(r = 1/2\).
Il generale n th il termine è
\[\large a_n = a r^{n-1}\]quindi allora il 6 th il termine è
\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]
Il rapporto comune può essere negativo?
Si assolutamente. Il rapporto costante \(r\) può essere negativo. Ad esempio, possiamo avere una sequenza geometrica con termine iniziale \(a_1 = 1\) e rapporto costante \(r = -2\). Quindi, il secondo termine è \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\) e così via.
Quindi vale esattamente la stessa regola: per ottenere il termine successivo moltiplichiamo il termine precedente per il rapporto costante \(r\), anche se il rapporto costante è negativo.
Esempio 2
Trova il quinto termine di una sequenza geometrica con il termine iniziale \(3\) e \(r = -2\).
Risposta:
Abbiamo informazioni sufficienti per definire la sequenza geometrica, perché abbiamo il primo termine \(a_1 = 3\) e abbiamo il rapporto costante \(r = -2\).
Il generale n th il termine (con rapporto costante negativo) è
\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]allora il 5 th il termine è
\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]Puoi usare il nostro calcolatore di formule di sequenza geometrica per ricontrollare ciò che hai trovato sopra, che è un calcolatore di formule esplicite.
Esempio 3
Considera la sequenza 1, 1/2, 1/4, 1/16, ... Questa sequenza è geometrica?
Risposta:
Affinché una data sequenza sia geometrica, i termini devono avere un rapporto comune. In questo caso dividendo il secondo termine per il primo termine otteniamo \((1/2)/1 = 1/2\).
Quindi, se dividiamo il terzo per il secondo termine: \((1/4)/(1/2) = 1/2\). Fin qui tutto bene.
Ora, se dividiamo il quarto per il terzo termine: \((1/16)/(1/4) = 1/4\). Fallisce. Non è una serie geometrica, perché non ha un rapporto comune (il rapporto è 1/2 per i primi due termini, ma poi è 1/4, quindi non è costante).
Quindi, la sequenza NON è una sequenza geometrica.
Maggiori informazioni sulle sequenze geometriche
La battuta finale che devi tenere a mente. Qual è la formula della sequenza geometrica? Semplice
\[\large a_n = a r^{n-1}\]dove \(a\) è il termine iniziale e \(r\) è il rapporto costante (o rapporto comune, come viene anche chiamato).
Ci sono un paio di calcolatori che potresti voler utilizzare che sono legati al concetto di sequenza geometrica, o progressione geometrica , come viene anche chiamato.
• Per prima cosa puoi controllare il nostro Calcolatore di somme di serie geometriche infinite , che somma infiniti termini di una sequenza geometrica. Questa somma sarà ben definita (convergerà) se il rapporto costante è tale che \(|r| < 1\).
• Inoltre, ti consigliamo di utilizzare il nostro calcolatore della somma della sequenza geometrica , che calcola la somma dei termini in una sequenza geometrica, FINO a un certo valore finito. Questa somma è ben definita senza condizioni sul rapporto costante \(r\), a patto di sommare fino a un termine finito della sequenza.
Può una successione geometrica avere un rapporto comune pari a 1?
Assolutamente. Il termine generale per una sequenza geometrica con un rapporto comune pari a 1 è
\[\large a_n = a r^{n-1}= a \cdot 1^{n-1} = a\]Quindi, una successione con rapporto comune pari a 1 è una successione geometrica piuttosto noiosa, con tutti i termini uguali al primo termine.