Semplificare i radicali
Le espressioni algebriche contenenti radicali sono molto comuni ed è importante sapere come gestirle correttamente. La prima regola che dobbiamo imparare è che i radicali possono SEMPRE essere convertiti in poteri, ed è di questo che tratta questo tutorial.
In questo tutorial impareremo come semplificare i radicali.
In effetti, abbiamo sempre a che fare con i radicali, specialmente con \(\sqrt x\). Una cosa a cui forse non ci fermiamo a pensare è che i radicali possono essere messi in termini di poteri.
Come posso farlo? Controlla. Cominciamo prima con \(\sqrt x\):
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Allora perché dovremmo essere entusiasti del fatto che i radicali possono essere messi in termini di poteri ??
La risposta è semplice: perché possiamo usare le regole che già conosciamo per i poteri per derivare le regole per i radicali.
Ad esempio, sia \(x, y\ge 0\) due numeri non negativi. Una regola che si applica ai radicali è
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Come lo sappiamo? Bene, semplicemente usando regola 6 degli esponenti e la definizione di radicale come potere. Controlla:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]ESEMPIO 1: Semplifica la seguente espressione radicale:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]RISPOSTA:
Sulla base dell'espressione data, possiamo riscrivere gli elementi all'interno del radicale per ottenere
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Regole dei radicali
Ci sono regole per far funzionare i radicali che hanno molto a che fare con le regole esponenziali (naturalmente, perché abbiamo appena visto che i radicali possono essere espressi come poteri, quindi ci si aspetta che vengano applicate regole simili).
Regola 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Regola 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Regola 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Molto probabilmente hai, in un modo o nell'altro, lavorato con queste regole, a volte anche senza sapere che le stavi usando.
Una menzione specifica è dovuta alla prima regola. Spesso vedrai (o anche il tuo istruttore te lo dirà) che \(\sqrt{x^2} = x\), con l'argomento che "la radice annulla il quadrato". In una certa misura, questa affermazione è corretta, ma non è vero che \(\sqrt{x^2} = x\). In effetti, possiamo fornire un contro esempio: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\). Quindi, in questo caso, \(\sqrt{x^2} = -x\).
In realtà, quello che succede è che \(\sqrt{x^2} = |x|\). Questo è il caso in cui otteniamo \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), perché \(|-3| = 3\).
ESEMPIO 2
Semplifica la seguente espressione radicale:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]RISPOSTA:
Ci sono molte cose che devono essere fatte qui. Innanzitutto, vediamo che questa è la radice quadrata di una frazione, quindi possiamo usare la regola 3. Quindi, ci sono poteri negativi che possono essere trasformati.
In concreto, possiamo portare \(y^{-2}\) al denominatore al numeratore come \(y^2\). Quindi, possiamo semplificare alcuni poteri Quindi otteniamo:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]Ulteriori informazioni sulla semplificazione dei radicali
Si noti che abbiamo analizzato e parlato di regole per i radicali, ma consideriamo solo la radice quadrata \(\sqrt x\). La domanda è: le stesse regole si applicano ad altri radicali (che non sono la radice quadrata)? Risposta breve: sì
Solo per avere una discussione completa sui radicali, dobbiamo definire i radicali in generale, utilizzando la seguente definizione:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]Con questa definizione, abbiamo le seguenti regole:
Regola 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), quando \(n\) è dispari.
Regola 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), quando \(n\) è pari.
Regola 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Regola 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)