Algebra Tutorial

Formula di decadimento esponenziale

La formula del decadimento esponenziale è molto utile e appare in MOLTE applicazioni pratiche, inclusa la modellazione del decadimento radioattivo.

Il nostro obiettivo principale in questo tutorial è conoscere la formula del decadimento esponenziale, quando applicarla e come gestirne i parametri.

Algebricamente parlando, un decadimento esponenziale espressione è qualsiasi espressione della forma

\large f(x) = A e^{-kx}

dove $k$ è un numero reale tale che $k > 0$ e anche $A$ è un numero reale tale che $A > 0$ .

In genere, il parametro $A$ è chiamato valore iniziale e il parametro $k$ è chiamato costante di decadimento o tasso di decadimento .

Per esempio

\large f(x) = e^{-x}

\large g(x) = e^{-2x}

entrambi corrispondono a funzioni con decadimento esponenziale.

Come appaiono GRAFICAMENTE quelle funzioni con decadimento esponenziale? Dai un'occhiata qui sotto:

Una cosa che possiamo osservare è che entrambe le funzioni DECADONO DAVVERO velocemente.

Cosa si intende per DECADIMENTO ??? Decadono, nel senso che si avvicinano rapidamente allo zero quando $x$ diventa sempre più grande ( $x \to +\infty$ ).

In effetti, entrambe le funzioni dopo diciamo $x > 4$ sono molto piccole (il grafico tocca quasi l'asse y).

Inoltre, se prestiamo attenzione, ci rendiamo conto che $e^{-2x}$ decade PIÙ VELOCEMENTE di $e^{-x}$ .

DOMANDA :

Ha la funzione di seguito:

\large f(x) = 2^{-x}

hanno un decadimento esponenziale ???

La risposta è si.

Anche se inizialmente potresti pensare: "Beh, questo non è un decadimento esponenziale, perché non vedo ' $e$ ' da nessuna parte ...". Quindi, questo è molto attento.

MA, non dimenticare che possiamo scrivere

\large 2 = e^{\ln 2}

quindi allora la funzione

\large f(x) = 2^{-x}

può essere riscritto come

\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}

Il calcolo di cui sopra dimostra (tosse, tosse, scusa, so che non ti piace quella parola) che $2^{-x}$ è una funzione con decadimento esponenziale con costante di decadimento $k = \ln 2$ .

ESEMPIO 1:

Trova il valore iniziale e il tasso di decadimento per la seguente funzione:

\large f(x) = 3 e^{-4x}

RISPOSTA:

In base alla funzione data, otteniamo direttamente che il valore iniziale in questo caso è $A = 3$ e il tasso di decadimento è $k = -4$ .

ESEMPIO 2:

Determina se l'espressione seguente ha un decadimento esponenziale e, in tal caso, trova il suo valore iniziale e il tasso di decadimento:

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}

RISPOSTA:

Notare che non vediamo il ' $e$ direttamente nell'espressione, MA non dimenticare che possiamo scrivere

\large 3 = e^{\ln 3}

quindi allora la funzione

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}

può essere riscritto come

\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}

Pertanto, questa è una funzione con decadimento esponenziale ei suoi parametri sono: valore iniziale $A =\frac{1}{2}$ e decadimento esponenziale $k = 2(\ln 3)$ .

Applicazioni: come trovare i parametri di una formula esponenziale

Spesso non ci vengono dati solo i parametri di decadimento esponenziale. Si. A volte questi parametri devono essere calcolati da determinate informazioni fornite, quindi è necessario preoccuparsi di come risolvere il decadimento esponenziale

Tali informazioni vengono solitamente fornite in uno dei seguenti due tipi:

Tipo 1: Sappiamo che c'è un decadimento esponenziale E ci viene dato il valore iniziale e il metà vita

Tipo 2: Sappiamo che c'è un decadimento esponenziale E ci viene dato il valore della funzione in due diversi momenti nel tempo.

Note sull'Hime-Life

Il tempo di dimezzamento corrisponde al tempo impiegato da una funzione con decadimento esponenziale per portare il suo valore alla metà del suo valore originale.

Quindi, supponi che $h$ sia l'emivita di $f(x) = A e^{-kx}$ e che $A$ sia noto. Come si calcola il tasso di decadimento $k$ ?? Osserva che quando $x = h$ avremo esattamente la metà di quello che avevamo inizialmente:

A/2 = f(h) = A e^{-k h}

e risolverlo porta a

A/2 = A e^{-k h}

\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}

\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)

\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h

\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2

Quando si lavora su un problema reale, è possibile utilizzare direttamente la formula o semplicemente eseguire la derivazione che abbiamo fatto impostando le informazioni sull'emivita.

ESEMPIO 3:

Supponiamo che una funzione abbia un valore iniziale di $A = 3$ e la sua emivita sia $h = 3$ . Inoltre, supponi che la funzione abbia un decadimento esponenziale. Trova il tasso di decadimento esponenziale.

RISPOSTA:

Quindi, questo è il primo caso del tipo di informazioni che possiamo fornire. Dobbiamo trovare il valore iniziale $A$ e il tasso di decadimento $k$ per determinare completamente la formula di decadimento esponenziale.

In questo caso, ci viene già dato $A = 3$ , quindi tutto ciò che ci resta è calcolare la costante di decadimento $k$ . Poiché conosciamo l'emivita, possiamo calcolare direttamente il tasso di decadimento utilizzando la formula:

\displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049

Quindi, la formula del decadimento esponenziale è

f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x}

ESEMPIO 4:

Supponiamo che una funzione abbia un valore iniziale di $A = 5$ e quando $x = 4$ abbiamo quel $f(4) = 2$ . Inoltre, supponi che la funzione abbia un decadimento esponenziale. Trova la formula del decadimento esponenziale.

RISPOSTA:

In questo caso, ci viene dato che $A = 5$ , e quindi tutto ciò che dobbiamo calcolare è la costante di decadimento $k$ . Poiché conosciamo il valore della funzione quando $x = 4$ :

2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}

\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}

\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}

\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)

\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k

\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073

Quindi ora che abbiamo calcolato il fattore di decadimento, otteniamo che la formula di decadimento esponenziale è

f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x}

Se rappresentiamo graficamente questa funzione si ottiene quanto segue:

Ulteriori informazioni sul decadimento esponenziale

Il decadimento esponenziale è un modello in cui la funzione esponenziale gioca un ruolo chiave ed è un modello molto utile che si adatta a molte teorie applicative della vita reale. L'applicazione più famosa del decadimento esponenziale ha a che fare con il comportamento dei materiali radioattivi.

Infatti, il materiale radioattivo segue un'equazione di decadimento esponenziale e ogni materiale ha (a seconda della propria volatilità) il suo tempo di dimezzamento, che è la quantità di tempo necessaria perché la quantità di materiale radioattivo si riduca alla metà.

Di solito, la formula per il decadimento radioattivo è scritta come

A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt}

oa volte è espresso in termini di emivita $h$ as

A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}

Cosa significa decadimento esponenziale?

Matematicamente, una funzione ha un decadimento esponenziale se può essere scritta nella forma $f(x) = A e^{-kx}$ . Per molti di voi questo non direbbe troppo.

Ok, va bene, quindi possiamo descrivere il decadimento esponenziale. Avere un decadimento esponenziale, potresti pensare, significa "decadere VERAMENTE veloce". Mentre le funzioni con decadimento esponenziale DO decadono molto velocemente, non tutte le funzioni che decadono molto velocemente hanno un decadimento esponenziale.

Ad esempio, considera $f(x) = \frac{1}{x^2}$ . Se rappresentate graficamente questa funzione, vedrete che decade molto velocemente, ma in realtà non ha un decadimento esponenziale.

Se dovessi descrivere il decadimento esponenziale, al di là dei termini algebrici della sua definizione, dovrai dire che una funzione ha un decadimento esponenziale se decade molto velocemente, ma ha ANCHE una proprietà cruciale:

Indipendentemente dal valore della funzione in un certo punto $x$ , esiste un valore $h$ in modo che il valore del valore della funzione nel punto $x+h$ sia la metà del valore della funzione in $x$ .

In altre parole, c'è un valore costante $h$ (sì, hai indovinato, l'emivita) che ha la proprietà che la funzione riduce il suo valore a metà dopo $h$ unità.

La funzione $f(x) = \frac{1}{x^2}$ , anche se decade velocemente, non ha la proprietà sopra (emivita).