Operazioni con esponenti negativi
Le operazioni con esponenti sono tra le operazioni più fondamentali in Algebra e, tra queste, quelle che coinvolgono esponenti negativi sono quelle che portano le maggiori complicazioni agli studenti.
Per prima cosa, ricordiamo le proprietà di base degli esponenti. L'uso di queste proprietà è onnipresente nella maggior parte delle aree della matematica. Le regole sono:
Regola 1: \(\large \displaystyle x^0 = 1\), per \(x = \not 0\)
Regola 2: \(\large\displaystyle x^1 = x\)
Regola 3: \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
Regola 4: \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
Regola 5: \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
Ad esempio, quando hai un'espressione come \(3^5 \cdot 3^7\), sappiamo di utilizzare la regola di moltiplicazione (regola 3) per ottenere:
\[\large 3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}\]Le regole degli esponenti: cosa succede agli esponenti negativi?
Anche se non te ne sei reso conto, le regole sopra non dicono che gli esponenti devono essere positivi. Anzi, potrebbero essere negativi e anche le regole valgono.
Ora, dalle regole 1 e 5 possiamo derivare la relazione tra esponenti positivi e negativi. Quindi, per la regola 5, supponi che \(m = 0\) e \(n\) sia positivo. Quindi, otteniamo
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0-n} = x^{-n}\]L'espressione sopra ci dà una semplice relazione tra esponenti positivi e negativi:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}\]
Questa espressione sopra ci dice che possiamo passare una potenza con un esponente negativo nel numeratore al denominatore con l'esponente positivo corrispondente. Questa è una "regola" degli esponenti negativi
La bellezza della formula sopra è che possiamo incrociare moltiplicando i termini su entrambi i lati dell'uguaglianza e possiamo scrivere l'espressione sopra in una forma leggermente diversa:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^{-n}} = x^{n}}\]
Quest'ultima espressione è solitamente molto utile, perché ci sta dicendo che possiamo portare una potenza con esponente negativo al denominatore al numeratore ma con il corrispondente esponente positivo. Questa può essere considerata come un'altra "regola" per gli esponenti negativi.
ESEMPIO 1
Semplifica la seguente espressione e lascia senza esponenti negativi:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2}\]RISPOSTA:
Usando la regola degli esponenti negativi, scambiamo esponenti positivi / negativi tra numeratore / denominatore:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2} = \frac{x^{3}\sqrt{x} x^{1/2}}{ y^2 y^{3}}\] \[\large = \frac{x^{3} x^{1/2} x^{1/2}}{ y^2 y^3} = \frac{x^{3+1/2+1/2}}{ y^{2+3}} \] \[\large = \frac{x^{4}}{ y^{5}} \]e finiamo con la semplificazione, perché non c'è più niente da semplificare.
Ulteriori informazioni sugli esponenti negativi
Uno dei più grandi suggerimenti di questo tutorial sugli esponenti negativi è che abbiamo regole per trasformare quegli esponenti negativi in esponenti positivi. Come lo facciamo?
• Se abbiamo un esponente negativo al numeratore (quindi stai moltiplicando per un esponente negativo), possiamo passarlo al denominatore con esponente positivo.
• Se abbiamo un esponente negativo al denominatore (quindi stai dividendo per un esponente negativo), possiamo passarlo al numeratore con esponente positivo.
Operare con esponenti negativi è solo una piccola parte dell'argomento da trattare regole degli esponenti , che ti danno un'idea chiara del motivo per cui il caso con esponenti negativi funziona in questo modo.