La varianza del campione

La varianza campionaria \(s^2\) è uno dei metodi più comuni per misurare la dispersione di una distribuzione. Quando viene fornito un campione di dati \(X_1, X_2, ...., X_n\), la varianza campionaria misura la dispersione dei valori campionari rispetto alla media campionaria.

Come si calcola la varianza campionaria?

Più specificamente, la varianza del campione viene calcolata come mostrato nella formula seguente:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

La formula sopra ha la Somma dei quadrati \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) in alto e il numero di gradi di libertà \(n-1\) in basso.

Il modo in cui si utilizza la formula sopra è semplice:

• Imposti una tabella, con una colonna per i dati specificati \(X_i\)
• Calcoli la media campionaria \(\bar X\)
• Inserisci la media campionaria in una colonna accanto ai dati \(X_i\) (inserisci la media campionaria accanto a CIASCUN termine del campione)
• Costruisci una colonna in cui calcoli la sottrazione dei dati campione e la media campionaria: \(X_i - \bar X\)
• Costruisci una colonna in cui calcoli il quadrato della colonna precedente: (\(X_i - \bar X\))^2
• Sommare i valori di quest'ultima colonna
• Dividi il risultato trovato per \(n-1\).

Come si calcola la varianza del campione utilizzando excel?

Osserva che hai bisogno di calcolare la media campionaria \(\bar X\) per poter utilizzare la formula sopra. È possibile calcolare la varianza utilizzando Excel utilizzando =VAR() funzione, ma il vantaggio del nostro è che si tratta di un calcolatore di varianza con passaggi. Inoltre, si noti che se si estrae la radice quadrata della varianza, si ottiene la deviazione standard campionaria.

Una forma più operativa

Le persone si lamentano del fatto che per calcolare la varianza bisogna prima calcolare la media campionaria, e poi le deviazioni e tutto il resto. Ma esiste un modo per calcolare subito la varianza campionaria, senza calcolare la media campionaria?

Scommetti che c'è. Spesso le persone pensano di dover usare il formula media e varianza Obbligatoriamente, ma non è così. Di seguito puoi verificare come calcolare direttamente la varianza campionaria, senza calcolare la media campionaria

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

Motivi per cui la varianza campionaria è utile

• Per campioni di grandi dimensioni, la varianza campionaria è un buon stimatore della varianza della popolazione

Calcolatrici statistiche descrittive di cui potresti aver bisogno

Se invece vuoi ottenere un calcolo passo passo di tutte le statistiche descrittive, puoi provare il nostro calcolatore di statistiche descrittive , che vi fornirà tutte le statistiche descrittive più comuni, con misure di tendenza centrale e di dispersione che mostrano tutti i passaggi del calcolo.

Inoltre, se sei interessato alla dispersione relativa, in contrapposizione alla dispersione assoluta, puoi utilizzare il nostro Calcolatrice del coefficiente di variazione , che ti dice quanto è grande la dispersione rispetto alla media Perché ne hai bisogno? Perché la deviazione standard rappresenta quella che viene considerata la dispersione assoluta. Ma quanto sia ampia la dispersione sarà rilevante solo in termini di quanto sia ampia rispetto alla media.

Esempio di applicazione

Domanda : Per i dati campione forniti: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, calcolare la varianza campionaria.

Soluzione:

Dobbiamo calcolare la varianza campionaria. Questi sono i dati campione forniti:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

Ora dobbiamo elevare al quadrato tutti i valori campione come mostrato nella tabella sottostante:

Osservazione:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

Pertanto, la varianza del campione viene calcolata come mostrato di seguito:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

Pertanto, in base ai dati forniti, la varianza del campione è \(s^2 = 22.8625 \).