Ulteriori informazioni sulla distribuzione del campionamento della proporzione del campione

La proporzione del campione è definita come $\displaystyle \hat p = \frac{X}{n}$, dove $X$ è il numero di casi favorevoli e $n$ è la dimensione del campione. Questa situazione può essere concepita come $n$ prove Bernoulliane successive $X_i$, tali che $\Pr(X_i = 1) = p$ e $\Pr(X_i = 0) = 1-p$. In questo contesto, il numero di casi favorevoli è $\displaystyle sum_{i=1}^n X_i$ e la proporzione del campione $\hat p$ si ottiene calcolando la media di $X_1, X_2, ...., X_n$. Ciò indica che quando la dimensione del campione è sufficientemente grande possiamo usare l'approssimazione normale in virtù del Teorema del limite centrale.

La media e l'errore standard della proporzione campionaria sono:

$$\mu (\hat p) = p$$ $$\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Pertanto, quando la dimensione del campione è sufficientemente grande e $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$, possiamo approssimare la probabilità $\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)$ di

$$\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}})$$ $$\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} )$$

È consuetudine applicare un fattore di correzione della continuità $cf = \frac{0.5}{n}$ per compensare il fatto che la distribuzione sottostante è discreta, soprattutto quando la dimensione del campione non è sufficientemente grande. Se stai cercando la distribuzione campionaria della media campionaria, usa questa calcolatrice anziché