Ulteriori informazioni sulla distribuzione del campionamento della proporzione del campione

La proporzione del campione è definita come \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \), dove \(X\) è il numero di casi favorevoli e \(n\) è la dimensione del campione. Questa situazione può essere concepita come \(n\) prove Bernoulliane successive \(X_i\), tali che \(\Pr(X_i = 1) = p\) e \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\). In questo contesto, il numero di casi favorevoli è \(\displaystyle sum_{i=1}^n X_i\) e la proporzione del campione \(\hat p\) si ottiene calcolando la media di \(X_1, X_2, ...., X_n\). Ciò indica che quando la dimensione del campione è sufficientemente grande possiamo usare l'approssimazione normale in virtù del Teorema del limite centrale.

La media e l'errore standard della proporzione campionaria sono:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Pertanto, quando la dimensione del campione è sufficientemente grande e \(np \geq 10\) e \(n(1-p) \geq 10\), possiamo approssimare la probabilità \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) di

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

È consuetudine applicare un fattore di correzione della continuità \(cf = \frac{0.5}{n}\) per compensare il fatto che la distribuzione sottostante è discreta, soprattutto quando la dimensione del campione non è sufficientemente grande. Se stai cercando la distribuzione campionaria della media campionaria, usa questa calcolatrice anziché