Intervallo di confidenza per la risposta media

L'intervallo di confidenza per la risposta media nel contesto di un Regressione lineare corrisponde all'intervallo di confidenza calcolato per la risposta media prevista \(\mu_{Y|X_0}\) per un dato valore \(X = X_0\).

Quindi, questo intervallo di confidenza ci fornisce un insieme credibile in cui ci aspettiamo di trovare la risposta media \(Y\), per un valore predittivo fisso \(X = X_0\)

Come si calcola questo intervallo di confidenza?

Per prima cosa, dobbiamo conoscere l'errore quadratico medio (\(\hat{\sigma}^2\)), per il quale si utilizza la seguente formula:

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

L'errore quadratico medio è un tipo di errore standard che fornisce la variabilità della variabile di risposta per diversi momenti di valutazione in \(X = X_0\) e viene utilizzato come base per l'intervallo di confidenza.

In altre parole, questo errore standard svolge lo stesso ruolo dell' deviazione standard gioca sul calcolo dell'intervallo di confidenza per la media \(\mu\).

Formula per l'intervallo di confidenza formula per la risposta media

Ok, ora abbiamo tutto ciò che ci serve, quindi passiamo alla formula dell'intervallo di confidenza: in base a queste informazioni, l'intervallo di confidenza \(1-\alpha)\times 100 \)% per la risposta media \(\mu_{Y|X_0}\) è dato da

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

Come nel caso della maggior parte degli intervalli di confidenza (non tutti, però), l'intervallo è simmetrico attorno a un punto centrale, che in questo caso è l'intervallo effettivo valore Y previsto per \(X = X_0\).

Questo valore centrale dell'intervallo di confidenza si trova semplicemente inserendo il valore di \(X = X_0\) nel modello di regressione stimato.

Altre calcolatrici di regressione

È importante notare che qui abbiamo mostrato come calcolare l'intervallo di confidenza della risposta media della previsione di regressione. Se siete interessati a un intervallo di confidenza per la previsione stessa, utilizzate invece questo calcolatore dell'intervallo di previsione per le previsioni di regressione .

Naturalmente, se stiamo parlando di regressione, puoi controllare questo Calcolatrice di regressione lineare nel caso in cui tu abbia un predittore, o questo Calcolatrice della regressione lineare multipla quando hai molti predittori.

Un'applicazione interessante è il caso dell' Regressione polinomiale , in cui c'è una variabile dipendente Y e un predittore X, ma in realtà utilizziamo anche le potenze di X come predittori, quindi tecnicamente è una regressione multipla.

L'analisi di regressione è davvero importante in statistica e non possiamo sopravvalutarne l'importanza. Ora, è fondamentale garantire che i risultati di regressione trovati siano validi, per questo motivo è altamente consigliabile analizzare i residui della regressione , poiché saranno cruciali al momento di valutare se le ipotesi di regressione sono soddisfatte.