Question 1: Un type de batterie au lithium est évalué pour sa durée de vie. Le directeur de production a sélectionné un échantillon aléatoire de 10 batteries et a enregistré les durées de vie suivantes en années: {3,25, 4,0, 3,1, 3,7, 3,5, 4,2, 4,75, 2,3, 5,5, 3,7}. Répondez à la question suivante en supposant que la population est normale.

une. Quelle est la moyenne de l'échantillon?

b. Quel est l'écart type de l'échantillon?

c. Expliquez comment la moyenne de l'échantillon est liée à la moyenne de la population.

ré. En supposant que vous ne connaissez pas l'écart type de la population, construisez un

Intervalle de confiance à 90% pour \(mu\).

e. Supposons que vous sachiez que l'écart type de la population est \(\sigma\) = 0,7; construire un intervalle de confiance de 90% pour \(\sigma\). (Afficher la formule ou la commande de la calculatrice)

F. Interpréter l'intervalle de confiance dans la partie e.

Solution: (a) Le tableau suivant est fourni

La moyenne de l'échantillon est de 3,8

(b) L'écart type de l'échantillon est de 0,891.

(c) La moyenne de l'échantillon est l'estimation ponctuelle de la moyenne de la population.

(d) L'écart-type de la population est inconnu, nous allons donc utiliser les statistiques t. L'intervalle de confiance à 90% est donné par

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

Dans ce cas, nous avons \({{t}_{\alpha /2}}\) est la valeur t-critique bilatérale, pour les degrés de liberté \(\alpha =0.10\) et \(n-1 = 9\). Par conséquent, nous obtenons que

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

L'interprétation est que nous sommes convaincus à 90% que la moyenne réelle de la population \(\mu\) est contenue dans l'intervalle \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\).

(d) L'écart type de la population est disponible, de sorte que la distribution normale peut être utilisée. Par conséquent, nous obtenons que l'intervalle de confiance à 90% est donné

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

où \({{z}_{\alpha /2}}\) correspond à la valeur critique z bilatérale pour \(\alpha =0.10\). Par conséquent, nous constatons que

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(e) L'interprétation est que nous sommes convaincus à 90% que la moyenne réelle de la population \(\mu\) est contenue dans l'intervalle (3,4359, 4,1641).

Question 2: Un échantillon aléatoire de 56 ampoules fluorescentes a une durée de vie moyenne de 645 heures avec un écart type de 31 heures. Construisez un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne de la population.

Solution: L'intervalle de confiance à 95% pour la moyenne de la population est donné par

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

Question 3: Un échantillon aléatoire simple doit être tiré d'une population de 1 200. Pour être sûr à 90% que l'erreur d'échantillonnage lors de l'estimation de \(p\) n'est pas supérieure à 0,03, quelle taille d'échantillon sera nécessaire?

Solution: L'intervalle de confiance à 90% est donné par

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

où \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\). Par conséquent, la marge d'erreur est

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Nous voulons que la marge d'erreur ne dépasse pas 0,03. Cela signifie que

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

Mais \(\hat{p}\) prend des valeurs comprises entre 0 et 1, donc la valeur maximale de \(\hat{p}(1-\hat{p})\) est atteinte lorsque \(\hat{p}=\frac{1}{2}\). Par conséquent, la condition que nous devons satisfaire est

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

Cela signifie que la taille de l'échantillon doit être d'au moins \(n=752\).