Expériences multinomiales
Exemples de problèmes d'expériences multinomiales
Question 1: Le directeur d'un super marché Farmer Jack aimerait savoir s'il existe une préférence pour le jour de la semaine où les clients font leurs courses. Un échantillon de 420 familles a révélé ce qui suit. Au niveau de signification de 0,05, y a-t-il une différence dans la proportion de clients qui préfèrent chaque jour de la semaine? Test du Chi Square. Qualité d'ajustement Fréquences attendues égales.
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Jour de la semaine |
Nombre de personnes |
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Monday
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20
|
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Tuesday
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30
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Wednesday
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20
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Thursday
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60
|
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Friday
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80
|
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Saturday
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130
|
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Sunday
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80
|
Solution: L'hypothèse nulle suivante doit être testée:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
La première tâche consiste à créer la table avec les valeurs attendues. Sur la base des données fournies, nous trouvons:
|
Catégorie |
Observé |
Attendu |
(fo - fe) ² / fe |
|
Lundi |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
Mardi |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
Mercredi |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
Jeudi |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
Vendredi |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
samedi |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81,6667 |
|
dimanche |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
Somme = |
163,3333 |
Cela signifie que les statistiques du chi carré sont calculées comme suit:
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
La valeur critique pour \(\alpha =0.05\) et \(df = 6\) est donnée par
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
et la valeur p correspondante est
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Puisque la valeur p est inférieure au niveau de signification \(\alpha = {0.05}\), nous rejetons \({{H}_{0}}\). Cela signifie que nous avons suffisamment de preuves pour rejeter l'hypothèse nulle de proportions égales, au niveau de signification de 0,05.
Question 2: La recherche a démontré que les gens ont tendance à être attirés par d'autres qui leur ressemblent. Une étude a démontré que les individus sont beaucoup plus susceptibles d'épouser ceux dont le nom de famille commence par la même dernière lettre que le leur (Jones, Pelham, Carvallo et Mirenberg, 2004). Les chercheurs ont commencé par examiner les actes de mariage et enregistrer le nom de famille de chaque marié et le nom de jeune fille de chaque mariée. À partir de ces enregistrements, il est possible de calculer la probabilité de faire correspondre au hasard une mariée et un marié dont les noms commencent par la même lettre. Supposons que cette probabilité ne soit que de 6,5%. Ensuite, un échantillon de 200 couples mariés est sélectionné et le nombre de couples ayant partagé la même dernière initiale au moment de leur mariage est compté. Les fréquences observées résultantes sont les suivantes:
Ces dates indiquent-elles que le nombre de couples avec la même dernière initiale est significativement différent de celui auquel on pourrait s'attendre si les couples étaient appariés au hasard? Test avec a = .05.
Solution: L'hypothèse nulle suivante doit être testée:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
La première tâche consiste à créer la table avec les valeurs attendues. Sur la base des données fournies, nous trouvons:
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Catégorie |
Observé |
Attendu |
(fo - fe) ² / fe |
|
Même initiale |
19 |
200 * 0,065 = 13 |
2,7692 |
|
Différentes initiales |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0,1925 |
|
Somme = |
2,9617 |
En utilisant ces informations, nous obtenons
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
La valeur critique pour \(\alpha =0.05\) et \(df = 1\) est donnée par
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
et la valeur p correspondante est
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Puisque la valeur p est supérieure au niveau de signification \(\alpha = {0.05}\), nous ne parvenons pas à rejeter \({{H}_{0}}\). Cela signifie que nous n'avons pas suffisamment de preuves pour rejeter l'hypothèse nulle des proportions données, au niveau de signification de 0,05.