Intervalle de confiance du coefficient de corrélation avec une corrélation donnée

Le processus de cette calculatrice est très similaire à la normale calculateur d'intervalle de confiance pour la corrélation de l'échantillon , à la seule différence que dans ce cas, vous n'avez pas d'échantillon de jeu de données, mais plutôt l'échantillon de corrélation lui-même.

Avez-vous juste besoin de la corrélation donnée pour obtenir l'intervalle de confiance ?

Non, vous avez besoin d'un peu plus. Le fait d'avoir déjà fourni la corrélation de l'échantillon est formidable, car vous pouvez vous épargner le travail de calcul à long terme.

Mais encore, vous devez également connaître la taille de l'échantillon $n$ qui a été utilisée pour calculer la corrélation de l'échantillon (c'est-à-dire le nombre de paires X et Y), et aussi, naturellement, comme pour tous les intervalles de confiance, vous avez besoin pour spécifier le niveau de confiance.

Le niveau de confiance le plus couramment utilisé est de 95 % (ou 0,95), mais vous pouvez également utiliser 90 %, 98 %, 99 %, etc., et n'importe quoi entre les deux. Donc, en d'autres termes, la corrélation et la taille de l'échantillon sont données, et vous choisissez le niveau de confiance.

Comment trouver le coefficient de corrélation et l'intervalle de confiance, avec une corrélation donnée ?

Exactement de la même manière que vous le faites avec un jeu de données. Une fois que vous avez la corrélation (qui vous est maintenant donnée), vous la transformez et calculez une transformation spéciale de la corrélation (basée sur la tangente hyperbolique inverse).

Ensuite, vous calculez les limites d'un intervalle de confiance pour la corrélation transformée, puis vous retransformez ces limites (en utilisant la tangente hyperbolique), pour obtenir l'intervalle de confiance que vous recherchez.

Exemple

Supposons que la corrélation de l'échantillon soit $r = 0.45$, avec une taille d'échantillon de $n = 18$. Calculez l'intervalle de confiance à 99 % pour le coefficient de corrélation de l'échantillon :

Solution:

Les informations suivantes ont été fournies :

Sample Correlation $r$ =	$0.45$
Sample Size $n$ =	$18$
Confidence level =	$99\%$

Étape 1 : Calculer la transformation du coefficient de corrélation de l'échantillon

L'étape suivante consiste à calculer la transformation (tangente hyperbolique inverse) du coefficient de corrélation de l'échantillon qui nous a été fourni.

Ce que nous essayons de faire est de construire un intervalle de confiance auxiliaire pour une transformation de la corrélation, qui correspond à la tangente hyperbolique inverse, à partir duquel dériver un intervalle de confiance pour la corrélation elle-même. On obtient ceci :

$$r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485$$

Étape 2 : Calculer l'erreur standard

Nous allons maintenant calculer l'erreur type $SE$ pour l'intervalle de confiance auxiliaire, en utilisant la formule suivante :

$$SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258$$

où $n = 18$ correspond à la taille de l'échantillon (le nombre de paires).

Étape 3 : Calculer l'intervalle de confiance auxiliaire

Nous devons maintenant calculer l'intervalle de confiance auxiliaire, qui est l'intervalle de confiance du logarithme de la corrélation.

Le niveau de confiance requis est $99\%$, donc la valeur z critique correspondante est $z_c = 2.576$, qui est obtenue à l'aide d'une table de distribution normale (ou de votre calculatrice). Avec ces informations, nous calculons les limites inférieure et supérieure de l'intervalle auxiliaire :

Avec ces informations, nous calculons les limites inférieure et supérieure de l'intervalle auxiliaire :

$$L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18$$

et

$$U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15$$

alors l'intervalle de confiance auxiliaire pour la corrélation transformée est $CI' = (-0.18, 1.15)$.

Étape 4 : Calculer l'intervalle de confiance pour la corrélation

Enfin, on peut calculer le $99\%$ recherché en appliquant la fonction tangente hyperbolique aux bornes de l'intervalle de confiance auxiliaire obtenu ci-dessus :

$$L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178$$$$U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818$$

Par conséquent, sur la base des informations fournies ci-dessus, le coefficient de corrélation d'échantillon est $r = 0.45$, et l'intervalle de confiance $99\%$ pour la corrélation d'échantillon est $CI = (-0.178, 0.818)$.

Interprétation: Sur la base des résultats trouvés ci-dessus, nous sommes $99\%$ confiants que l'intervalle $(-0.178, 0.818)$ contient la vraie corrélation de population $\rho$.